Приращение функции
По графикам функций, представленных на рисунках, найдите приращение аргумента и приращение функции при переходе от точки 
к точке 
:
1.1) 
1.2) 
Найдите приращение функции 
в точке 
, если:
1.3) 
;
1.4) 
;
1.5) 
;
1.6) 
1.7) 
;
1.8) 
;
1.9) 
;
1.10) 
Найдите приращение функции 
при переходе от
точки 
к точке 
, если:
1.11) 
1.12) 
1.13) 
1.14) 
Найдите приращение функции 
при переходе от
точки 
к точке 
, если:
1.15) 
1.16) 
1.17) 
1.18) 
Найдите приращение функции 
при переходе от
точки 
к точке 
, если:
1.19) 
1.20) 
1.21) 
1.22) 
Найдите приращение функции 
при переходе от
точки 
к точке 
, если:
1.23) 
1.24) 
1.25) 
1.26) 
Для функции 
найдите 
при переходе от точки 
к
точке 
, если:
1.27) 
1.28) 
Ответы
| Δ y = –0,6; Δ x = –2 | –0,19 | ||
| Δ y = –5; Δ x = 2 | 0,21 | ||
| 1/19 | –0,75 | ||
| –2,32 | 1,25 | ||
| 0,03 | 0,2 | ||
| 0,205 | –0,1 | ||
| 1/4 | 0,1 | ||
| –2/5 | 0,05 | ||
| 3Δ x | ||
| 1/10 | –2 x Δ x – (Δ x)2 | ||
| 0,4 | –2Δ x | ||
| –0,2 | 4 x Δ x + 2(Δ x)2 | ||
| 2 ax Δ x + a (Δ x)2 | |||
| –1 | 
|
Вычисление производных
Правила дифференцирования (и, v, w — функции аргумента х, по которому производится дифференцирование).
1. Производная алгебраической суммы
2. Производная произведения
В частности, если С — постоянная, то
3. Производная частного (дроби)
В частности, 
10Таблица основных формул дифференцирования
| № п/п | Функция | Производная | № п/п | Функция | Производная |
| C (постоянная) | sin x | cos x | |||
 (α – постоянная)
| 
| cos x | –sin x | ||
| Частные случаи: | tg x | 
| |||
| x | ctg x | 
| |||
| 
| arcsin x | 
| ||
| 
| arccos x | 
| ||
| ax (a > 0 – постоянная) | ax ln a | arctg x | 
| ||
| ex | ex | arcctg x | 
| ||
| 
| xx | xx (1 + ln x) | ||
| ln x | 
| ||||
| lg x | 
|
4. Производная сложной функции (функции от функции).
Если
Если u – функция от x и a – постоянная, то:
Найдите производную функции
2.1) 
.
2.2) 
2.3) 
2.4) 
2.5) 
2.6) 
2.7) 
2.8) 
2.9) 
.
2.10) 
.
2.11) 
.
2.12) 
.
2.13) 
.
2.14) 
.
2.15) 
.
2.16) 
.
2.17) 
.
2.18) 
.
2.19) 
.
2.20) 
.
2.21) 
.
2.22) 
.
2.23) 
.
2.24) 
.
2.25) 
.
2.26) 
.
2.27) 
.
2.28) 
.
2.29) 
.
2.30) 
.
2.31) 
.
2.32) 
.
2.33) 
.
2.34) 
.
2.35) 
.
2.36) 
.
2.37) 
.
2.38) 
.
2.39) .
2.40) 
.
2.41) .
2.42) 
.
2.43) .
2.44) 
.
2.45) 
.
2.46) .
2.47) 
.
2.48) .
2.49) 
.
2.50) 
.
2.51) .
2.52) .
2.53) 
.
2.54) 
.
2.55) 
.
2.56) 
.
2.57) 
.
2.58) 
.
2.59) 
.
2.60) 
.
2.61) 
.
2.62) 
.
2.63) 
.
2.64) 
.
2.65) 
.
2.66) 
.
2.67) 
.
2.68) 
.
2.69) 
.
2.70) 
.
2.71) 
.
2.72) 
.
2.73) 
.
2.74) 
.
2.75) 
.
2.76) 
.
2.77) 
.
2.78) 
.
2.79) 
.
2.80) 
.
2.81) 
.
2.82) 
.
2.83) 
.
2.84) 
.
2.85) 
.
2.86) 
.
2.87) 
.
2.88) 
.
2.89) 
.
2.90) 
.
2.91) 
.
2.92) 
.
2.93) 
.
2.94) 
.
2.95) 
.
2.96) 
.
2.97) 
.
2.98) 
.
2.99) 
.
2.100) 
.
2.101) 
.
2.102) 
.
2.103) 
.
2.104) 
.
2.105) 
.
2.106) 
.
2.107) 
.
2.108) 
.
2.109) 
.
2.110) 
.
2.111) 
.
2.112) 
.
2.113) 
.
2.114) Вычислите значение производной функции 
в точке 
.
2.115) Вычислите значение производной функции 
в точке .
2.116) Вычислите значение производной функции 
в точке .
2.117) Вычислите значение производной функции 
в точке .
2.118) Вычислите значение производной функции 
в точке .
2.119) Вычислите значение производной функции 
в точке .
2.120) Вычислите значение производной функции 
в точке .
Ответы
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|
| |
| |
|
| |
| |
|
| |
| |
| |
|
| |
| |
|
| |
| |
| |
|
| |
|
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| –54 | |
| –21 | |
| –37 | |
| –48 | |
| –33 |
Касательная к графику функции
Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f (x)в точке с абсциссой х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то 
выражает угловой коэф-
фициент касательной:
Поскольку 
, то верно равенство 
Составьте уравнение касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
, если:
3.1) 
3.2) 
3.3) 
3.4) 
3.5) 
3.6) 
3.7) 
3.8) 
3.9) 
3.10) 
3.11) 
3.12) 
3.13) Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции 
в точке с абсциссой 
3.14) Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции 
в точке с абсциссой 
3.15) Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции 
через его точку с абсциссой 
3.16) Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции 
в точке с абсциссой 
3.17) Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции 
в точке с абсциссой 
3.18) Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной
к графику функции 
в точке с абсциссой
3.19) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
3.20) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
3.21) К графику функции 
в точке с абсциссой 
проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона касательной к оси Ох.
3.22) Напишите уравнения касательных к графику функции
в точках его пересечения с осью абсцисс.
3.23) Напишите уравнения касательных к параболе
в точках с ординатой 4.
3.24) На графике функции 
найдите точки,
в которых касательная образует с положительным
направлением оси абсцисс угол 
. Составьте уравнение
каждой из этих касательных.
В какой точке касательная к графику функции 
параллельна заданной прямой:
3.25) 
3.26) 
3.27) 
3.28) 
В каких точках касательная к графику заданной функции 
параллельна заданной прямой 
3.29) 
3.30) 
3.31) 
3.32) 
3.33) 
3.34) 
3.35) 
3.36) 
Напишите уравнения тех касательных к графику функции 
, которые параллельны заданной прямой:
3.37) 
3.38) 
3.39) Определите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции 
параллельна оси абсцисс.
3.40) Найдите абсциссу точки графика функции 
, в которой касательная наклонена под углом 
к оси абсцисс.
3.41) Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции 
в его точке с абсциссой 
.
3.42) Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику функции 
в точке с абсциссой 
.
3.43) Найдите угол между касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
и осью абсцисс.
3.44) К графику функции 
проведена касательная параллельно прямой 
. Найдите абсциссу точки касания.
3.45) К графику функции 
в точке с абсциссой 
проведена касательная. Найдите абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ.
3.46) На графике функции 
взята точка А. Касательная к графику, проведенная через точку А, наклонена к оси ОХ под углом, тангенс которого равен 5. Найдите абсциссу точки А.
3.47) Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции 
в его точке с абсциссой 
.
3.48) К графику функции 
в точке с абсциссой проведена касательная. Найдите абсциссу точки графика касательной, ордината которой равна 31.
3.49) Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции 
параллельна прямой 
.
3.50) К графику функции 
в точке с абсциссой проведена касательная. Найдите абсциссу точки пересечения касательной с осью ОХ.
3.51) Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции 
в его точке с абсциссой 
. 67
3.52) Через точку графика функции 
с абсциссой 
проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.
3.53) Определите угол, который образует касательная, проведенная к графику функции 
в точке с абсциссой 
, с положительным направлением оси Ox.
3.54) Функция 
определена на промежутке 
. На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффициент.
3.55) Функция определена на промежутке 
. На рисунке изображен график производной этой функции.
К графику функции провели касательные во всех точках, абсциссы которых ‑ целые числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.
3.56) Прямая пересекает ось абсцисс при 
, касается графика функции 
в точке 
. Найдите 
.
3.57) Функция определена на промежутке 
. Используя изображенный на рисунке график производной 
, определите количество касательных к графику функции , которые составляют угол 
с положительным направлением оси Ox.
3.58) Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной этой функции.
К графику функции провели касательные во всех точках, абсциссы которых ‑ целые числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.
3.59) Функция определена на промежутке 
. На рисунке изображен график производной . Определите число касательных к графику функции , тангенс угла наклона которых к положительному направлению оси Ox равен 3.
3.60) Прямая пересекает ось ординат при 
, касается графика функции в точке 
. Найдите 
.
3.61) Функция определена на промежутке 
. На рисунке изображен график производной этой функции.
К графику функции провели касательные во всех точках, абсциссы которых ‑ целые числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.
3.62) Прямая пересекает ось ординат при 
, касается графика функции в точке 
. Найдите 
.
3.63) Функция определена на промежутке 
. Используя изображенный на рисунке график производной , определите количество касательных к графику функции , которые составляют угол 
с положительным направлением оси Ox.
3.64) Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффициент.
3.65) Функция определена на промежутке 
. Используя изображенный на рисунке график производной , определите количество касательных к графику функции , которые составляют угол 
с положительным направлением
оси Ox.
3.66) Прямая пересекает ось абсцисс при 
, касается графика функции
