Базис и размерность пространства

Так как в линейном пространстве векторы можно складывать и умножать на числа, то из них можно составлять линейные комбинации и можно ввести понятия линейной зависимости и линейной независимости системы векторов так же, как это было сделано в разделе "Линейная зависимость векторов". На случай произвольного линейного пространства определения 10.14 и 10.15 переносятся дословно. Предложения 10.6, 10.7, 10.8 переносятся дословно вместе с доказательствами.

На основе линейной зависимости в линейном пространстве вводится определение базиса. Оно почти дословно совпадает с определением 10.16.

Определение 18.2 Базисом линейного пространства называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства является линейной комбинацией этих векторов.

В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.

Пример 18.2 Пусть -- линейное пространство всех многочленов с веществеными коэффициентами. Покажем, что в этом пространстве базис не существует.

Предположим противное. Пусть векторы образуют в этом пространстве базис.

Каждый вектор пространства -- это многочлен. Пусть

Из степеней многочленов выберем наибольшую и обозначим ее буквой . Возьмем многочлен . Так как и векторы образуют базис, то , где -- вещественные числа. Следовательно, является суммой многочленов степеней меньших, чем , и поэтому его степень должна быть меньше, чем . С другой стороны, по определению, многочлен имеет степень . Получили противоречие. Значит, предположение о существовании базиса неверно.

Теорема 18.1 В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.

Доказательство теоремы мы приводить не будем. Желающие могут найти его в любом учебнике по линейной алгебре, например в [1].

Определение 18.3 Линейное пространство , в котором существует базис, состоящий из векторов, называется -мерным линейным или векторным пространством. Число называется размерностью пространства и обозначается . Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.

Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами. Как показано в примере 18.2 в этом пространстве базис отсутствует.

Предложение 18.1 Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, имеет рамерность .

Доказательство. Возьмем систему векторов

Покажем, что эта система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:

Преобразуем левую часть:

Следовательно,

откуда , , . Итак, система векторов -- линейно независима.

Пусть -- произвольный вектор пространства, Очевидно, что

Следовательно, вектор является линейной комбинацией векторов . Тем самым доказано, что векторы образуют базис в пространстве столбцов из элементов. Размерность пространства равна числу векторов в базисе. Следовательно, пространство -- -мерное.

Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, обозначается .

Предложение 18.2 Пространство столбцов из элементов, являющихся комплексными числами, имеет размерность .

Доказательство такое же, как и в предыдущем предложении. Это пространство обозначается .

Пример 18.3 Пространство решений однородной системы линейных уравнений имеет базис из решений, где -- число неизвестных, а -- ранг матрицы . Этим базисом служит фундаментальная система решений (см. определение 15.5 и теорему 15.3).

Координаты векторов

Определение 18.4 Пусть -- -мерное линейное пространство, вещественное или комплексное, -- базис. Тогда произвольный вектор из представим в виде линейной комбинации векторов базиса:

Числа называются координатами вектора в базисе . Столбец из координат вектора называется координатным столбцом вектора .

Предложение 18.3 Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно.

Доказательство. Предположим противное. Пусть -- базис, в котором у вектора есть два различных набора координат:

Тогда

то есть

Так как наборы координат различны, то хотя бы один из коэффициентов справа отличен от нуля. Следовательно, векторы -- линейно зависимы, что противоречит определению базиса. Полученное противоречие означает, что предположение о наличии двух различных наборов координат неверно.

Предложение 18.4 Пусть в -мерном пространстве задан базис . Тогда координатный столбец суммы векторов равен сумме координатных столбцов слагаемых, координатный столбец произведения вектора на число равен координатному столбцу вектора, умноженному на это число.

Доказательство. Пусть векторы и имеют координатные столбцы и соответственно. Отсюда следует, что

Поэтому

Это равенство означает, что координатный столбец вектора имеет вид . Первая часть предложения доказана. Доказательство второй части предоставляем читателю.

Из последнего предложения следует, что как только в -мерном пространстве зафиксирован базис, каждый вектор можно заменить его координатным столбцом, и операциям сложения и умножения на число соответствуют такие же операции над их координатными столбцами. Таким образом, каждое -мерное пространство является, с точки зрения алгебры, копией пространства в вещественном случае, а в комплексном -- копией .