Выпуклость и вогнутость линии. Точки перегиба

Определение 15.3. Дуга называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей, не более чем в двух точках.

Если дуга выпуклая, то она лежит по одну сторону касательной в любой ее точке.

Будем рассматривать дуги, которые являются частями графика линий непрерывных функций. Линии, обращенные выпуклостью вверх, называются выпуклыми, а вниз – вогнутыми.

Определение 15.4. Точка на линии называется точкой перегиба, если она разделяет выпуклую дугу от вогнутой.

Пример 15.4. Рассмотрим : - точки перегиба.

Касательная в точке перегиба пересекает линию и параллельна Оу. Связь между второй производной и выпуклостью (вогнутостью) устанавливается следующими теоремами.

Теорема 15.4. (необходимый признак): Если дуга линии выпуклая, то (неположительная). Если дуга линии вогнутая, то (неотрицательная) в соответствующем интервале.

Теорема 15.5. (достаточный признак): Если всюду на некотором интервале, то дуга линии выпуклая. Если , то дуга – вогнутая.

Если - абсцисса точки перегиба, то , и меняет знак при переходе через . При перемене знака с «-» на «+» слева лежит выпуклый участок, а справа – вогнутый, с «+» на «-» - наоборот.

Асимптоты линий

Определение 15.5. Прямая линия называется асимптотой, , если расстояние от точки линии до прямой стремится к нулю при . Будем различать вертикальные и наклонные асимптоты.

1)Вертикальные асимптоты графика функции находятся так,

если то - вертикальные асимптоты. (Функция, стремящаяся к исследуется в окрестности точки , т.е. или ).

2)Наклонные асимптоты.

Асимптота – это прямая, следовательно, ее уравнение , где , (15.1)

, (15.2)

Заметим, что если равенство (15.1) может осуществляться, а равенство (15.2) нет , тогда линия - асимптот не имеет.

Пример 15.6. Дана функция . Найти асимптоты.

Вертикальная асимптота:

Наклонные асимптоты: :

Наклонных асимптот нет.

Пример 15.7. Дана функция . Найти асимптоты.

Вертикальные: - вертикальные асимптоты. Наклонные:

Следовательно, наклонные асимптоты (биссектриса I и III координатных углов).

Общая схема исследования функции

1) Область определения функции.

2) Точки разрыва и интервалы непрерывности.

3) Асимптоты.

4) Точки пересечения графика с осями координат.

5) Четность нечетность графика (симметрия графика).

6) Интервалы монотонности. Экстремумы и значения функции в экстремумах.

7) Интервалы выпуклости, вогнутости функции, точки перегиба.

Пример 15.8. Исследовать функцию и построить её график

1.

2. , точка разрыва II рода, т.к.

- интервалы непрерывности.

3. Наклонная

; .

х
у	-1

4. Точки пересечения графика с осями:

1)

2) Если одна точка пересечения с осями координат.

Четность, нечетность.

- не является ни четной, ни нечетной, следовательно, график несимметричен ни относительно осей Ох и Оу, ни относительно начала координат .

6. Найдем производную: и приравняем ее к нулю: . критические точки; производ-ная .

Определим знак производной на каждом интервале:

Точка - максимум; Точка - минимум; .

7.Интервалы выпуклости, вогнутости функции, точки перегиба.

Найдем вторую производную:

Точек перегиба нет.

Так как , то на промежутке функция вогнута. Поскольку , то на промежутке функция выпуклая.