Одно из самых важных назначений дифференциального исчисления – это применение его к исследованию функций (линий). Эта процедура опирается на весьма простую связь между поведением функции и свойствами ее производных.
Теорема 15.1.(Необходимый и достаточный признак монотонности).
1. Если функция в интервале возрастает, то её производная
- неотрицательная.
2. Если - убывает, то её производная неположительная
.
3. Если , (то есть не изменяется), то
Геометрический смысл теоремы
Если подвижная точка при движении по графику функции слева на право поднимается, то касательная к графику функции образует острый угол с осью Ох
; если же точка
опускается, то касательная образует тупой угол,
.
В интервале монотонности функции знак её производной не может изменяться на противоположный.
Достаточный признак монотонности читается из теоремы в обратном порядке.
Пример 15.1. Исследовать на монотонность функцию:
Решение: Найдем: Приравняем
, то есть
.
Вся числовая ось разбивается на три интервала:
1. функция возрастает;
2. функция убывает;
3. функция возрастает.
Определение 15.1. Те, значения , в которых производная обращается в нуль, называются стационарными точками функции.
Как видно из нашего примера - в этих точках функция меняет характер своего поведения, сначала возрастает, потом убывает и т.д.
Экстремумы функции
Определение 15.2. Точка называется точкой максимума функции
, если
, есть наибольшее значение функции
в окрестности точки
. Точка
- минимум, если
- наименьшее значение функции в окрестности точки
. Точки максимум и минимум объединяются названием точки экстремума.
Необходимый признак экстремума функции
Теорема 15.2.(признак Ферма). Функция
может иметь экстремумы только в тех точках, в которых ее производная равна нулю или не существует.
С геометрической точки зрения тот факт, что , по теореме Ролля означает, что касательная в точке х параллельна оси Ох, а тот факт, что
- не существует, означает, что
- не дифференцируема (см. рисунки). Примеры таких функций:
В точках и
касательная параллельна оси Оу. Такие точки называются точками возврата.
В точках и
касательная переходит внезапно от одного положения к другому, то есть, в этой точке нет, определенной касательной – угловые точки. Необходимый признак не является достаточным.
Пример 15.2. , но производная не меняет знака,
на всей числовой оси, следовательно, точка
- не экстремум. Когда же точка
будет экстремумом? Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.