Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Ферма (1601-1665гг)
Теорема 14.1. Пусть функция 
определена на отрезке 
и во внутренней точке с этого отрезка принимает наибольшее и наименьшее значение. Тогда, если 
существует производная 
, то она равна 0, т.е. 
.
Доказательство:
Докажем для случая, когда функция принимает в точке с наибольшее значение, т.е. 
Пусть 
определена на отрезке 
и во внутренней точке с этого отрезка принимает наибольшее значение: В точке с существует производная 
Требуется доказать, что 
Дадим точке с приращение 
так как 
не вышла за пределы запишем 
в точке с, функция принимает наибольшее значение, то 
1) Предположим, что 
т.е. 
то будем иметь:
Переходя к пределу: 
2) Предположим, что 
т.е. 
то будем иметь:
Переходя к пределу:
Из двух неравенств 
следует, что .
Аналогично, когда в точке 
, функция достигает своего наименьшего значения. 
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ферма
Вспомним геометрический смысл производной в точке : 
- угловой коэффициент касательной в точке , а если , то касательная параллельна оси Ох.
Теорема М. Ролля (1652-1719)
Теорема 14.2. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале 
и на концах интервала принимает равные значения 
, то между точками 
найдется, по крайней мере, одна точка : .
Доказательство:
Пусть для функции условия теоремы выполняются. Т.к. непрерывна на отрезке по теореме 2 Вейерштрасса она принимает на этом отрезке свои наибольшие и наименьшие значения: М и т.
Рассмотрим два случая:
1) 
По определению наибольшего и наименьшего значения 
из отрезка выполняется неравенство: 
а производная от 
2) 
Оба эти значения функция достигает на отрезке и так как по условию теоремы 
то оба эти значения 
не могут достигаться одновременно на концах . Значит, одно из этих значений достигается внутри интервала 
, то есть в точке 
. В таком случае, мы находимся в условии теоремы Ферма, на основании которой Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ролля
Если , то - есть угловой коэффициент касательной и , следовательно, касательная параллельна 
. Смысл в том, что найдется такая точка 
, в которой касательная к ней параллельна оси .
Теорема Лагранжа (1736-1813)
Теорема 14.3. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируемая на промежутке , то между точками 
и 
найдется, такая точка , что имеет место равенство:
.
Доказательство:
Пусть - непрерывна на отрезке и дифференцируема на промежутке 
Рассмотрим вспомогательную функцию 
, где
- удовлетворяет условию теоремы Ролля на отрезке . В самом деле, она непрерывна на отрезке , как алгебраическая сумма непрерывных функций, следовательно, она дифференцируема на промежутке Ее производная равна:
достигается непосредственным вычислением. На основании теоремы Ролля между точками 
существует такая точка с, что 
Но 
Отсюда, 
. Теорема доказана.
