Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


¬ывод: ”равнение Ѕернулли с помощью замены сводитс€ к линейному неоднородному уравнению первого пор€дка




я сменю у каждого слагаемого знак, делать это не об€зательно, просто запись будет выгл€деть стандартнее что ли:

ƒальше алгоритм работает по накатанной колее, важно только уметь решать неоднородное уравнение 1-го пор€дка:

ѕроведем замену:

—оставим и решим систему:

»з первого уравнени€ найдем :

Ц подставим найденную функцию во второе уравнение системы:

ѕодобные интегралы € ласково называю дурными интегралами, они не столько сложные, сколько творческие Ц нужно догадатьс€ (хот€ бы научным тыком), как их решать.

ƒанный интеграл берЄтс€ по част€м:

“ворчество присутствует, помимо интегрировани€ по част€м, использован метод подведени€ функции под знак дифференциала.

“аким образом:

Ќо это ещЄ не всЄ, выполн€ем обратную замену:
≈сли изначально было , то обратно будет

¬ результате получаем общее решение исходного уравнени€ Ѕернулли:

–ешим задачу  оши. Ќайдем частное решение, удовлетвор€ющее начальному условию :

ќтвет: частное решение:

ƒл€ монстров дифференциального исчислени€ вкратце напоминаю алгоритм проверки дифференциального уравнени€:

1) ѕровер€ем, выполнено ли начальное условие.
2) ЅерЄм ответ и находим производную .
3) ѕодставл€ем ответ и найденную производную в исходное ƒ”. ƒолжно получитьс€ верное равенство.

ѕроверить дифференциальное уравнение Ѕернулли действительно не всем под силу, так как в большинстве случаев приходитс€ находить трудную производную и выполн€ть громоздкую подстановку.

 огда € подбирал первый пример дл€ этой статьи, очень хотелось разобрать распространенное уравнение Ѕернулли в духе , однако сразу же после замены оно становитс€ до неприличи€ похоже на ѕример 8 урока неоднородные дифференциальные уравнени€ первого пор€дка. ѕоэтому пусть лучше будет что-нибудь необычное.

Ќо, вы не расстраивайтесь, вот пара более простых примеров дл€ самосто€тельного решени€:

ѕример 2

Ќайти решение ƒ” , удовлетвор€ющее начальному условию

ѕример 3

Ќайти решение задачи  оши
,

ѕолные решени€ и ответы в конце урока.

¬ третьем примере перед решением целесообразно представить уравнение в стандартном виде: .

¬ообще, иногда составители сборников и методичек зашифровывают уравнени€ до неузнаваемости, например:

 ак говоритс€, сиди студент и разгадывай ребус Ц какого хрена типа этот диффур. “о ли уравнение с раздел€ющимис€ переменными, то ли уравнение в полных дифференциалах, то ли еще какое-нибудь уравнение.

ѕример 4

Ќайти решение ƒ” , соответствующее начальному условию

 орни, куда же без них.

–ешение: ѕожалуйста, классический вид уравнени€ Ѕернулли.
—начала убираем Ђигрекї из правой части, дл€ этого делим каждую часть на :

“еперь с помощью замены нужно избавитьс€ от Ђигрекаї вот в этом слагаемом:

»з вышесказанного следует замена:
Ќайдем производную:
, откуда выразим:

“аким образом:

ѕолучено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:


—оставим и решим систему: .

»з первого уравнени€ найдем :



Ц подставим во второе уравнение:




“аким образом:
ќбратна€ замена: если , то
ќбщее решение:

Ќайдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

ќтвет: частное решение:

 стати, данное уравнение очень легко проверить.

¬озможно, некоторые удивились, почему € ничего не рассказал про математика Ѕернулли. «абыл. Ќе будем нарушать традиций. якоб Ѕернулли почти италь€нец, жил в Ўвейцарии, говорил на 5-ти €зыках. ¬ семье Ѕернулли 9 (!) математиков, одним словом Ц династи€. Ќо с этой фамилией у мен€ стойко ассоциируютс€ строчки гимна физмата:

“ри дн€ в деканате покойник лежал, в штаны ѕифагора одетый,
¬ руках ‘ихтенгольца он томик держал, что сжил его с белого света,
  ногам прив€зали тройной интеграл, и в матрицу труп обернули,
ј вместо молитвы какой-то нахал прочЄл теорему Ѕернулли.

ѕример 5

Ќайти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнени€ первого пор€дка.

Ќемногочисленный пример из моей выборки, когда требуетс€ найти только общее решение. ѕолное решение и ответ в конце урока.

ћы рассмотрели наиболее распространенные версии уравнени€ Ѕернулли Ц с Ђигрекомї во второй степени и с Ђигрекомї под квадратным корнем. ƒругие варианты встречаютс€ реже. –азберЄм пример, когда Ђигрекї находитс€ в кубе.

ѕример 6

Ќайти общее решение дифференциального уравнени€

–ешение: ƒанное ƒ” €вл€етс€ уравнением Ѕернулли. –азделим обе части на :

»збавл€емс€ от Ђигрекаї в Ђполюбившемс€ї слагаемом, дл€ этого проведем замену:

¬ результате:

ѕолучено линейное уравнение, проведем замену:

–ешим систему:

»з первого уравнени€ найдем :




Ц подставим во второе уравнение:




“аким образом:

ѕроведЄм обратную замену: если изначально , то обратно:

¬ принципе, здесь можно выразить общее решение в виде:
, но, согласитесь, смотритс€ не оченьЕ, словно ƒедушка ћороз подсунул в подарок гнилую мандаринку. Ёта фишка уже рассматривалась мной на уроке ќднородные дифференциальные уравнени€ первого пор€дка. Ќет-нет, испорченные продукты питани€ никому не предлагал =)

Ћично € в похожей ситуации почти всегда склон€юсь к тому, чтобы оставить ответ в виде общего интеграла (заодно паритьс€ не нужно).

ќтвет: общий интеграл:
≈щЄ одно решение:

 огда вам предложено найти только общее решение уравнени€ Ѕернулли, ответ полезно дополнить тривиальным решением .

ѕеред кремлЄвским салютом рассмотрим заключительный пример с отрицательной степенью.

ѕример 7

Ќайти частное решение дифференциального уравнени€
,

Ёто пример дл€ самосто€тельного решени€.

Ќу вот, мешок с подарками пуст, надеюсь все остались довольны. ’от€, честно, Ќовый √од не люблю, сегодн€ вычитал на јнекдоте.ру меткий афоризм: 10 дней праздников обычно проводишь либо без вс€кой пользы либо с большим вредом.

”дачной вам сессии!

–ешени€ и ответы:

ѕример 2: –ешение: ƒанное ƒ” €вл€етс€ уравнением Ѕернулли. Ќайдем общее решение.


ѕроведем замену:

ѕолучено линейное неоднородное уравнение, замена: .



—оставим и решим систему:
»з первого уравнени€ найдем :



Ц подставим во второе уравнение:



“аким образом:
ќбратна€ замена:
ќбщее решение:
Ќайдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

ќтвет: частное решение:
 расиво.

ѕример 3: –ешение:
ƒанное дифференциальное уравнение €вл€етс€ уравнением Ѕернулли, разделим обе части на :

ѕроведем замену:


ѕолучено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:



—оставим и решим систему:

»з первого уравнени€ найдем :



Ц подставим во второе уравнение:



“аким образом:

ќбратна€ замена:
ќбщее решение:
Ќайдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

ќтвет: частное решение:

ѕример 5: –ешение: ƒанное уравнение €вл€етс€ уравнением Ѕернулли


«амена:

¬ полученном линейном неоднородном уравнении, проведем замену:



–ешим систему: .
»з первого уравнени€ найдем :




Ц подставим во второе уравнение:



“аким образом:
ќбщее решение:
ќбратна€ замена:

ќтвет: общее решение
! ѕримечание: Ќе забывайте про тривиальное решение , его бывает не лишним включить в ответ.

ѕример 7: –ешение:
ƒанное ƒ” €вл€етс€ уравнением Ѕернулли.

ѕроведем замену:

ѕолучено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:



—оставим и решим систему:

»з первого уравнени€ найдем :



Ц подставим во второе уравнение:



“аким образом:

ќбратна€ замена:
„астное решение, соответствующее начальному условию , можно найти пр€мо из общего интеграла . ƒл€ этого вместо Ђиксаї подставл€ем ноль, а вместо Ђигрекаї Ц единицу:

“аким образом, частное решение:

„астное решение также вы€сн€етс€ и более Ђпривычнымї способом через общее решение .

ќтвет: частное решение:

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 738 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

≈сли вы думаете, что на что-то способны, вы правы; если думаете, что у вас ничего не получитс€ - вы тоже правы. © √енри ‘орд
==> читать все изречени€...

1868 - | 1870 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.025 с.