Предпраздничные новогодние дни предвещают зачеты и экзамены, поэтому в срочном порядке я решил порадовать читателей еще одним уроком по теме Дифференциальные уравнения первого порядка. Речь пойдет о так называемых уравнениях Бернулли, которые нет-нет, да и встречаются в практических работах и контрольных заданиях. Уравнение Бернулли рекомендую изучать только в том случае, если у вас уже есть опыт решения дифференциальных уравнений первого порядка, в особенности, следует хорошо ориентироваться в линейных неоднородных уравнениях вида 
.
Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид:
Очевидно – уравнение Бернулли по общей структуре напоминает линейное неоднородное уравнение первого порядка.
Характерным признаком, по которому можно определить уравнения Бернулли, является наличие функции «игрек» в степени «эн»: 
.
Если 
или 
, то уравнение Бернулли превращается в уравнения, которые вы уже должны уметь решать.
Целая степень 
может быть как положительной, так и отрицательной (во втором случае получится дробь), кроме того, может быть обыкновенной дробью, например 
.
Как и линейное неоднородное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли может приходить на новогодний утренник в разных костюмах, волком:
Зайчиком:
Или белочкой:
Важно, чтобы в уравнении присутствовал товарищ , который, как я только что показал, иногда может маскироваться под корень.
Обратите внимание, что одним из очевидных решений уравнения Бернулли (если 
) является решение: 
. Действительно, если найти 
и подставить 
в уравнения рассмотренных типов, то получится верное равенство. Иногда принципиальные преподаватели могут потребовать дополнительно указать данное решение в ответе.
Все популярные разновидности уравнения Бернулли я принёс в большом мешке с подарками и приступаю к раздаче. Развешивайте носки под ёлкой.
Пример 1
Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.
, 
Наверное, многие удивились, что первый подарок сразу же извлечён из мешка вместе с задачей Коши. Это не случайность. Когда для решения предложено уравнение Бернулли, почему-то очень часто требуется найти частное решение. По своей коллекции я провёл случайную выборку из 10 уравнений Бернулли, и общее решение (без частного решения) нужно найти всего в 2-х уравнениях. Но, собственно, это мелочь, поскольку общее решение придётся искать в любом случае.
Решение: Данный диффур имеет вид , а значит, является уравнением Бернулли
