Предел функции

Прогрессии

	Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Обозначение	{ а_n } а ₁ – первый член прогрессии; d – разность прогрессии;	{ b_n } b ₁ – первый член прогрессии; q – знаменатель прогрессии;
Рекуррентное соотношение	a_n ₊₁= a_n + d	b_n ₊₁= b_n · q
Допустимые значения	а ₁Î R; d Î R;	b ₁¹0; q ¹0;
Формула общего члена	a_n = a ₁+(n -1)· d	b_n = b ₁· qⁿ ^-1
Характеристическое свойство	a_n ₊₁+ a_n _-₁=2 a_n	b_n ₊₁· b_n _-₁= b_n ² (b_n ¹0)
Формула суммы n первых членов
Другие формулы
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (0<\| q \|<1)

Лекция 6. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Предел функции.

Определение 1 (по Гейне): Число А называется пределом функции f (х) в точке х = х ₀, если для любой сходящейся к х ₀ последовательности значений аргумента х, отличных от x ₀ соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А .

Функция может иметь в точке только один предел.

Определение 2 (по Коши): Число А называется пределом функции f (х) в точке х = х ₀, если для любого числа e >0 существует число d >0, такое, что для всех х Î Х, х ¹ х ₀, удовлетворяющих неравенству | x - х ₀|< d, выполняется неравенство | f (x)- A |< e.

Теорема 1: Оба определения предела функции эквивалентны.

Определение 3 (по Гейне): Число А называется правым (левым) пределом функции f (х) в точке х = х ₀, если для любой сходящейся к х ₀ последовательности значений аргумента элементы которой х_n больше (меньше) х ₀, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А . Определения односторонних пределов.

Определение 4 (по Коши): Число А называется правым (левым) пределом функции f (х) в точке х = х ₀, если для любого числа e >0 существует число d >0, такое, что для всех х Î Х, х ¹ х ₀, удовлетворяющих неравенству х ₀< x < х ₀+ d (х ₀+ d < x < х ₀), выполняется неравенство | f (x)- A |< e. Определения односторонних пределов.

Теорема 2: Функция f (х) имеет в точке х = х ₀ предел тогда и только тогда, когда в этой точке существует как правый, так и левый пределы и они равны.

Определение 5: Число А называется пределом функции f (х) при х ®+¥ (х ®-¥), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы х_n которой положительны (отрицательны) соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А .

Если пределы функции при х ®+¥ и при х ®-¥ равны , то пишут