Всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения

 

Теорема 1: (об устойчивости знака непрерывной функции) Пусть функция f (х) непрерывна в точке х ₀ и f (х ₀)¹0. Тогда существует d >0 такое, что для всех х Î(х ₀- d, х ₀+ d) функция f (х) имеет тот же знак, что f (х ₀).

 

Теорема 2: (I теорема Больцано-Коши) Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [ а; b ] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка с Î(а; b), в которой f (с)=0.

Её геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе с одной полуплоскости, границей которой является ось Ох, в другую пересекает эту ось.

 

Теорема 3: (II теорема Больцано-Коши) Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [ а; b ] причём f (а)= А f (b)= В и А < C < В. Тогда на отрезке [ а; b ] найдётся точка с такая, что f (с)= С.

Её геометрический смысл: непрерывная функция f (х) при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.

 

Следствие: Если функция f (х) определена и непрерывна на некотором промежутке Х, то множество её значений Y также представляет некоторый промежуток.

 

Определение 3: Функция f (x) называется ограниченной на отрезке [ а; b ], если существует число М >0 такое, что для всех х Î[ а; b ] выполняется неравенство | f (x)|£ M.

 

Теорема 4: (I теорема Вейерштрасса) Если функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [ а; b ], то она ограничена на этом отрезке.

Замечание: для интервала (а; b) теорема неверна.

 

Определение 4: Точной верхней (нижней) гранью функции f (x), определённой на Х, называется наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней, ограничивающих Y сверху (снизу).

 

Теорема 5: (II теорема Вейерштрасса) Если функция f (х) непрерывна на отрезке [ а; b ], то она достигает на этом отрезке своих точных граней, то есть существуют точки х ₁, х ₂Î[ а; b ] такие что

Замечание: после этого можно ввести определения:

Определение 5: Точная верхняя (нижняя) грань функции f (x) называется максимальным (минимальным) значением функции на отрезке.

 

Теорема 5: (II теорема Вейерштрасса) Непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке максимальное и минимальное значения.

 

Теорема 6: (о непрерывности обратной функции) Пусть функция у = f (х) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке Х и пусть Y – множество её значений. Тогда на множестве Y обратная функция х = j (у) однозначна, строго монотонна и непрерывна.