Распределения Максвелла и Больцмана

 

Уравнение (2.8) имеет универсальный характер, так как в него не входят величины, зависящие от природы газа, и называется основным уравнением молекулярно – кинетической теории.

Воспользуемся формулой (2.4) и определим среднюю квадратичную скорость. Так как

,

то

(2.9)

Статистические закономерности не определяются начальными условиями. Они не дают возможности определить скорость «меченой» молекулы в данный момент времени, но позволяют вычислить долю молекул газа при данной температуре, имеющих скорости, лежащие в интервале значений от V до (V + dV).

На основании теории вероятности Максвелл получил закономерность, по которой можно определить число молекул газа dN, скорости которых при данной температуре заключены в некотором интервале скоростей от V до (V + dV).

dN = F(v,T,m)dV,

где F(v,T,m)– называется функцией распределения.

Максвелл вывел аналитическое выражение функции F(v,T,m):

, (2.10)

где N – общее число молекул газа;

Т – абсолютная температура;

V – скорость молекулы;

k – постоянная Больцмана;

m – её масса.

Кривая Максвелла имеет максимум, которому соответствует скорость, называемая наиболее вероятной скоростью Vв. Чтобы получить выражение Vв, надо взять первую производную от F(v,T,m) по V и приравнять её к нулю, тогда получим:

=0

 

(2.11)

Как видно из уравнений, конкретный вид кривой и величина V_в зависит лишь от массы молекулы m и температуры Т. На Рис.2.2 приведены расчётные зависимости плотностей вероятностей обнаружения молекул кислорода (слева) и атомов гелия (справа) для температуры 300К.

 

Рис.2.2

Экспериментальная проверка распределения Максвелла была выполнена Штерном.

В молекулярно – кинетической теории есть понятие средней арифметическая скорость поступательного движения молекулы:

(2.12)

где | V₁ |, | V₂ |, …, | V_n | – скорости отдельных молекул, N – их число; m₁ -масса одной молекулы;

С позиций молекулярно – кинетической теории абсолютный нуль температуры по шкале Кельвина соответствует такому состоянию идеального газа, когда движение молекул прекращается и давление Р = 0. Молекулы обладают массой и поэтому должны испытывать гравитационное взаимодействие, как между собой, так и со стороны тяготеющих масс.

Наличие у Земли атмосферы обусловлено как действием на молекулы сил тяготения, так и их тепловым движением. Действие этих факторов приводит к неравномерному распределению молекул в атмосферном слое Земли, при котором давление и концентрация молекул с высотой h над поверхностью Земли убывает.

Пусть давление слоя газа толщиной dh

.

Плотность газа ρ выразим из уравнения Менделеева – Клапейрона (см. раздел 2.1)

.

Тогда или . Высотам h₀ и h соответствуют давления Р₀ и Р, т.е.

,

или - барометрическая формула.

Давление Р₀ на уровне моря считается нормальным .

Учитывая, что Р=nkT, можно получить закон зависимости концентрации молекул от высоты h в поле тяготения Земли (распределение Больцмана)

,

где W_n=mgh – потенциальная энергия молекул в поле тяготения (m - масса молекулы).

Таким образом, концентрация молекул в атмосфере Земли убывает (как и давление) с высотой и зависит также от массы молекул (их потенциальной энергии).