Оптимальность по Парето

Покажем, как это делается. Пусть имеется многокритериальная задача исследования операций с k критериями F₁, F₂,…, F_k. Для простоты предположим, что все эти величины желательно максимизировать. Пусть в составе множества возможных решений есть два решения х ₁, х ₂ такие, что значения всех критериев F₁, F₂,…, F_k для первого решения больше или равны соответствующим критериям для второго решения, причем хотя бы один из них действительно больше. Тогда из состава множества Х решение х ₂вытесняется (говорят «доминируется») решением х ₁.

В результате такой процедуры отбрасывания заведомо невыгодных решений во множестве Х сохраняются только эффективные («по Парето» или «паретовские») решения, характерные тем, что ни для одного из них не существует доминирующего решения.

(Вильфредо Парето (1848-1923) – итальянский социолог и экономист).

Проиллюстрируем прием выделения паретовских решений на примере задачи с двумя критериями: F₁ и F₂ (оба требуется максимизировать). Множество Х состоит из конечного числа n возможных решений х ₁, х ₂,…, х _n. Каждому решению соответствуют определенные значения показателей F₁, F₂; будем изображать решение точкой на плоскости с координатами F₁, F₂ и занумеруем точки соответственно номеру решения (рис. 2.9.1).

F₂. 2

.1.4.5

.7.3.8.9

.6.10

.17.16.15.14.12

.18.19.11

. 20 F₁

Рис. 2.9.1. Оптимальность по Парето.

Очевидно, из всего множества Х эффективными (доминирующими) будут только решения х ₂, х ₅, х ₁₀, х ₁₁, лежащие на правой верхней границе области возможных решений (см. точки, соединенные пунктиром), причем х ₁₁ – наилучшее по критерию F₁, х ₂ – по критерию F₂. Дело лица, принимающего решение, выбрать тот вариант, который для него предпочтителен и «приемлем» по обоим критериям.

Аналогично строится множество эффективных решений и в случае, когда показателей не два, а больше (при этом геометрическая интерпретация теряет наглядность, но суть дела сохраняется).

Рассмотрим макроэкономическую модель Финляндии, построенную в 70-х годах. Качество решений оценивалось по четырем критериям:

С₁ – увеличение валового национального продукта (в %);

С₂ – уменьшение инфляции (в %);

С₃ – уменьшение безработицы (в %);

С₄ – уменьшение дефицита внешней торговли (млрд. фин. марок).

В табл.2.9.1 приведены три различных варианта экономической политики.

Таблица 2.9.1. Значения критериев вариантов экономической политики

Вариант решения	С₁	С₂	С₃	С₄
	– 2,74	8,16	3,28	2,24
	0,57	9,00	2,81	5,27
	1,81	8,88	2,64	6,54
Наилучшие решения	7,18	8,16	1,88	1,21

В нижней строке табл.2.9.1 приведены наилучшие значения каждого из критериев, которые можно получить, если оптимизировать по одному критерию, не обращая внимания на другие. Наилучшие значения по всем критериям одновременно не достижимы. Легко видеть, что приведенные альтернативы являются точками множества Парето в четырехмерном пространстве критериев. Действительно, первый вариант дает наименьшее значение инфляции и дефицита внешней торговли, но отрицательный прирост ВНП и большую безработицу. Третий вариант лучший по росту ВНД и уровню безработицы, но худший по дефициту внешней торговли. Эти противоречия отражают типичный характер вариантов многокритериальных решений.

Таким образом, область допустимых решений Х может быть разбита на две непересекающиеся части:

– область согласия, в которой качество решения может быть улучшено одновременно по всем локальным критериям или без снижения уровня любого из критериев;

– область компромиссов (множество эффективных решений), в которой улучшение качества решения по одним локальным критериям приводит к ухудшению качества решения по другим.

Очевидно, что оптимальное решение может принадлежать только области компромиссов, так как в области согласия решение может и должно быть улучшено по соответствующим критериям. Множество эффективных решений легче обозримо, чем множество Х. Что касается окончательного выбора решения, то он по-прежнему остается прерогативой человека. Только человек, с его непревзойденным умением решать неформальные задачи, принимать компромиссные решения (не строго-оптимальные, но приемлемые по ряду критериев) может взять на себя ответственность за окончательный выбор.

Однако сама процедура выбора решения, будучи повторена неоднократно, может послужить основой для выработки некоторых формальных правил, применяемых уже без участия человека. Речь идет о так называемых «эвристических» методах выбора решений. Предположим, что опытный менеджер (или, еще лучше, их группа) многократно выбирает компромиссное решение в многокритериальной задаче исследования операций, решаемой при разных условиях a. Набирая статистику по результатам выбора, можно, например, разумным образом подобрать значения «весов» а ₁, а ₂,… в формуле (2.9.1), в общем случае зависящие от условий a и самих показателей F₁, F₂,…, и воспользоваться таким обобщенным критерием для выбора решения, на этот раз уже автоматического, без участия человека. На это иногда приходится идти в случаях, когда времени на обдумывание компромиссного решения нет (например, в условиях боевых действий), или же в случае, когда выбор решения передается автоматизированной системе управления.

В некоторых случаях очень полезной оказывается процедура выбора решения в диалоговом (или интерактивном) режиме, когда компьютер, произведя расчеты, выдает лицу, управляющему операцией, значения показателей F₁, F₂,…, а это лицо, критически оценив ситуацию, вносит изменения в весовые коэффициенты (или иные параметры управляющего алгоритма) и расчеты повторяются.

Часто применяется на практике способ свести многокритериальную задачу к однокритериальной – это выделить один (главный) показатель F₁ и стремиться его обратить в максимум, а на все остальные F₂, F₃,… наложить только некоторые ограничения, потребовав, чтобы они были не меньше каких-то заданных f₂, f₃,… Например, при оптимизации плана работы следственного управления можно потребовать, чтобы качество работы было максимальным (минимум возврата на доследование), план по раскрываемости – выполнен или перевыполнен, а затраты – не выше заданного уровня. При таком подходе все показатели, кроме одного – главного (качества работы), переводятся в разряд заданных условий a. Некоторый произвол в назначении границ f₂, f₃,…, разумеется, при этом остается; поправки в эти границы тоже могут быть введены в диалоговом режиме.

Существует еще один путь построения компромиссного решения, который можно назвать методом последовательных уступок. Предположим, что показатели F₁, F₂,… расположены в порядке убывающей важности. Сначала ищется решение, обращающее в максимум первый (важнейший) показатель F₁ = F₁*. Затем назначается, исходя из практических соображений, с учетом той точности, с которой нам известны входные данные, некоторая «уступка» DF₁, которую мы согласны сделать для того, чтобы максимизировать второй показатель F₂. Наложим на показатель F₁ ограничение: он должен быть не меньше, чем F₁* – DF₁, и при этом ограничении ищем решение, обращающее в максимум F₂. Далее снова назначаем «уступку» DF₂, ценой которой можно максимизировать F₃, и т.д. Такой способ построения компромиссного решения хорош тем, что здесь сразу видно, ценой какой «уступки» в одном показателе приобретается выигрыш в другом и какова цена этого выигрыша.

Так или иначе, при любом способе ее постановки, задача обоснования решения по нескольким показателям остается не до конца формализованной, и окончательный выбор решения всегда определяется волевым актом лица, принимающего решения (ЛПР). Дело исследователя – предоставить в распоряжение ЛПР данные, помогающие ему сделать выбор не «вслепую», а с учетом преимуществ и недостатков каждого варианта решения.