Временные параметры сетевого графика

Каждой дуге сетевого графика поставим в соответствие некоторое число, соответствующее продолжительности работы, отображаемой данной дугой. Число, приписанное дуге (i,j), будем называть длиной дуги и обозначать tij.

Множество дуг, упорядоченное таким образом, что конечное событие одной из них является начальным событием другой, называется путем.

Рассмотрим небольшой пример.

Рис. 2.4.4

Будем различать четыре вида пути:

а). Полный путь – путь, начало которого совпадает с исходным событием сети, конец – с завершающим, например, (0,1)-(1,4)-(4,5)-(5,6) или (0,2)-(2,4)-(4,6).

б). Путь, предшествующий событию – это путь от исходного события до данного события, например, для события 4 предшествующими путями будут (0,2)-(2,4) и (0,1)-(1,4).

в). Путь, следующий за событием – это путь от данного события до завершающего, например, для события 2 это пути (2,4)-(4,5)-(5,6) и (2,4)-4,6).

г). Путь между двумя событиями – путь, начало и конец которого совпадают с соответствующими событиями, например, между событиями 2 и 5 лежит путь (2,4)-(4,5).

Под длиной пути будем понимать продолжительность выполнения всей последовательности работ, составляющих данный путь.

Таким образом, длина пути равна сумме длин всех дуг данного пути.

Наиболее продолжительный полный путь в сетевом графике называется критическим. Критическими называются также работы и события, расположенные на этом пути.

Рассмотрим еще один пример сетевого графика. Цифры на каждой дуге означают продолжительности работ.

4 3 3

3 4 5

6 1 8

2 10

Рис. 2.4.5

Здесь полными путями будут:

путь (0,1)-(1,3)-(3,6)-(6,8) продолжительностью 2+4+3+3=12,

путь (0,3)-(3,6)-(6,8) продолжительностью 3+3+3=9,

путь (0,2)-(2,3)-(3,6)-(6,8) продолжительностью 5+6+3+3=17,

путь (0,2)-(2,5)-(5,7)-(7,8) продолжительностью 5+1+8+5=19,

путь (0,2)-(2,5)-(5,8) продолжительностью 5+1+4=10 и

путь (0,2)-(2,4)-(4,7)-(7,8) продолжительностью 5+2+10+5=22.

Перебрав все полные пути, мы видим, что последний путь имеет наибольшую продолжительность, поэтому он и является критическим (далее мы приведем способ определения критического пути без перебора всех полных путей). Продолжительность критического пути составляет 22 (например, дня), т.е. для проведения всего комплекса работ понадобится 22 дня. Быстрее комплекс выполнить нельзя, так как для достижения цели (завершающего события) работы критического пути надо выполнить обязательно. Определив критический путь, мы тем самым установили критические события сети 0, 2, 4, 7, 8 и критические работы (0,2), (2,4), (4,7), (7,8).

Критический путь имеет особое значение в системах сетевого планирования и управления. Действительно, срыв сроков выполнения какой-либо работы критического пути влечет срыв срока выполнения всего комплекса в целом, и, с другой стороны, для сокращения продолжительности проекта необходимо в первую очередь сокращать продолжительность работ, лежащих на критическом пути.

Временные параметры сети состоят из временных параметров событий и временных параметров работ. Рассмотрим содержание и алгоритм расчета параметров событий.

Временем Т_j наступления (или свершения) события j считается момент окончания всех работ, входящих в это событие.

Минимальное (самое раннее) время Т_j^о наступления события j равно длине максимальному из путей, предшествующих данному событию. Очевидно, что это время является и самым ранним временем начала работ, выходящих из этого события. Например, в последнем примере событие 3 может свершиться не ранее, чем через 11 дней от исходного события, т.к. наибольшая длина пути, предшествующего данному событию (пути (0,2)-(2,3)) равна 11.

Критическим временем выполнения комплекса работ будем называть раннее время наступления завершающего события. Критическое время – это минимальное количество времени, необходимое для выполнения всего комплекса работ, очевидно, совпадает с длиной критического пути.

Для вычисления Т_j^о необходимо сначала рассмотреть все события i, соединенные дугой (i,j) с данным событием j, вычислить для них ранние времена и при этом на каждом шаге использовать формулу

Т_j^о =maxí Т_i^о + t_ijý (2.4.1)

^"ⁱ

Вычисления начинаются с исходного события и продолжаются до тех пор, пока не будет достигнуто завершающее событие всей сети.

Проиллюстрируем алгоритм вычисления ранних времен.

Принимаем Т₀^о=0. Поскольку в событие 1 входит только одна работа (0,1) продолжительностью t₀₁=2, то Т₁^о= Т₀^о+ t₀₁=0+2=2.

Рассмотрим далее событие 2 (Заметим, что событие 3 пока рассматривать нельзя, так как срок Т₂^оеще неизвестен). Таким образом, Т₂^о =Т₀^о + t₀₂=0+5=5. Перейдем теперь к событию 3. Поскольку в него входят три дуги (0,3),(2,3) и (1,3), то

Т₃^о =maxí Т_i^о + t_i3ý= maxí 0 + 3; 2+4; 5+6ý=11.

^i=0,1,2

Вычисления продолжаем аналогичным образом, пока не будут определены значения Т_j^о для всех событий j. Имеем

Т₄^о = Т₂^о + t₂₄ = 5 + 2 = 7,

Т₅^о = Т₂^о + t₂₅= 5 + 1 = 6,

Т₆^о = Т₃^о + t₃₆= 11 + 3 = 14,

Т₇^о =maxí Т_i^о + t_i7ý= maxí7+10; 6+8ý=17,

^i=4,5

Т₈^о =maxí Т_i^о + t_i8ý= maxí6+4; 14+3; 17+5ý=22.

^i=5,6,7

На этом вычисления Т_i^озаканчиваются.

Теперь от завершающего события к исходному (справа налево) определяем Т_i¹– максимально допустимый (поздний) срок завершения всех работ, входящих в данное событие, при котором критическое время выполнения всего комплекса работ останется неизменным. Если обозначить n – завершающее событие сети, то Т_n¹=Т_n⁰ является отправной точкой алгоритма вычисления поздних сроков. В общем виде для любого события i,

Т_i¹ =min í Т_j¹ – t_ijý для всех дуг (i,j). (2.4.2)

^"^j

Вычислим значения Т_i¹на последнем примере (рис.2.4.5).

Т₈¹ = Т₈⁰=22,

Т₇¹ = Т₈¹ – t₇₈ = 22 – 5 = 17,

Т₆¹ = Т₈^о – t₆₈ = 22 – 3 = 19,

Т₅¹ =min í Т_j¹ – t_5jý= miní17–8; 22 – 4ý=9,

^j=7,8

Т₄¹ = Т₇¹ – t₄₇ = 17 – 10 = 7,

Т₃¹ = Т₆¹ – t₃₆ = 19 – 3 = 16,

Т₂¹ =min íТ_j^о – t_2jý= miní16–6; 7 – 2; 9 – 1ý=5,

^j=3,4,5

Т₁¹ = Т₃¹ – t₁₃ = 16 – 4 = 12,

Т₀¹ =min íТ_j¹ – t_0jý= miní12–2; 5 – 5; 16 – 3ý=0.

^j=1,2,3

Определим резерв времени R_i i-го события как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

R_i= Т_i¹ – Т_i⁰(2.4.3)

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление данного события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ. Сведем результаты вычислений значений Т_i¹, Т_i^о и R_i в таблицу:

Таблица 2.4.1

Номер события	Сроки свершения события	Резерв времени R_i
Ранний Т_i^о	Поздний Т_i¹

Теперь, используя данные табл. 2.4.1, можно определить работы критического пути (без полного перебора полных путей). Работа (i,j) принадлежит критическому пути, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

Т_i⁰=Т_i¹

Т_j^о = Т_j¹(2.4.4)

Т_j^о – Т_i^о =Т_j¹ – Т_i¹ = t_ij

По существу, эти условия означают, что между ранним сроком начала (окончания) и поздним сроком начала (окончания) критической работы запас времени отсутствует. Условиям (2.4.4) удовлетворяют работы (0,2), (2,4), (4,7) и (7,8), т.е. они образуют критический путь, в чем мы и ранее убедились перебором всех полных путей.

Временные параметры работ.

Различают несколько разновидностей резервов времени работ, мы рассмотрим два основных вида: полный резерв и свободный резерв. Полный резерв работы (i,j) определяется по формуле:

R^п_ij=Т_j¹ – Т_i⁰ – t_ij (2.4.5)

R^п_ij показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения всего комплекса работ не изменится. Кроме того, полный резерв времени есть разность между критическим временем и длиной максимального полного пути, проходящего через эту работу.

Полный резерв критических работ равен 0. У некритических работ R^п_ij>0. При использовании полного резерва времени только для одной работы резервы времени остальных работ, лежащих на максимальном пути, проходящем через нее, будут полностью исчерпаны, т.е. увеличение продолжительности некритической работы за счет использования всего ее полного резерва обязательно влечет появление нового критического пути, в состав которого войдет эта работа.

Опоздание начала некритической работы (i,j) по сравнению с Т_i⁰на всю величину ее полного резерва влечет за собой необходимость начинать все работы, выходящие из события j в наиболее позднее допустимое время Т_j¹наступления этого события.

Свободный резерв времени R^с_ij работы (i,j) представляет часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершаются в свои самые ранние сроки.

R^с_ij=Т_j⁰ – Т_i⁰ – t_ij (2.4.6)

Таким образом, свободный резерв времени может быть использован на увеличение продолжительности данной и предшествующих работ без нарушения резерва времени последующих работ.

Для примера на рис. 2.4.5 проведем вычисления по формулам (2.4.5), (2.4.6). В табл. 2.4.2 приведены результаты расчетов временных параметров работ.

Таблица 2.4.2

(i,j)	t_ij	Т_i⁰	Т_j¹	R^п_ij	R^с_ij
(0,1)
(0,2)
(0,3)
(1,3)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(3,6)
(4,7)
(5,7)
(5,8)
(6,8)
(7,8)

Она содержит всю необходимую для построения календарного плана (графика) информацию. Когда полный резерв равен 0, свободный резерв также должен быть равен 0.

Конечным результатом выполняемых на сетевой модели расчетов является календарный график (план). При построении календарного графика необходимо учитывать наличие ресурсов, так как одновременное выполнение некоторых работ из-за ограничений, связанных с рабочей силой, оборудованием, материальными и другими видами ресурсов, может оказаться невозможным. Проблемам оптимизации потребления ограниченных ресурсов на основе сетевых моделей посвящен пункт 2.4.8. Далее на нашем примере (исходный график на рис. 2.4.5, расчетные данные в табл.2.4.2) иллюстрируется процедура построения календарного плана при отсутствии ограничений на ресурсы. Результат на рис 2.4.6.