Поток событий. Простейший поток и его свойства

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих дно за другим в какие-то, вообще говоря, случайные моменты времени.

Примерами могут быть:

- поток вызовов на телефонной станции;

- поток включений приборов в бытовой электросети;

- поток грузовых составов, поступающих на железнодорожную станцию;

- поток сбоев вычислительной машины;

- поток выстрелов, направляемых на цель;

и т.д.

При рассмотрении процессов, протекающих в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, часто бывает удобно представлять себе процесс так, как будто переходы системы из состояния в состояние происходят под действием каких-то потоков событий (поток вызовов, поток неисправностей, поток заявок на обслуживание, поток посетителей и т.д.). Поэтому имеет смысл рассмотреть подробнее потоки событий и их свойства.

Рассмотрим потоки событий, обладающие некоторыми особо простыми свойствами. Для этого введем ряд определений.

1) Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной t зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси 0t расположен участок.

2) Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой.

3) Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

(Раскрыть понятие стационарности, отсутствия последствия, ординарности на примерах.)

Поток, обладающий всеми этими свойствами, называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком.

Простейший поток играет среди других потоков особую роль. А именно, можно доказать, что при суперпозиции (взаимном наложении) достаточно большого числа потоков, обладающих последействием (лишь бы они были стационарны и ординарны), образуется поток, который можно считать простейшим, и тем точнее, чем большее число потоков складывается.

Для стационарного пуассоновского потока вероятность поступления события (заявки) за время Dt есть lDt+o(Dt). Это в силу следствия стационарности, отсутствия последствия и ординарности.

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что за время t наступит n событий (поступит n вызовов).

p_n(t+Dt)=p_n(t)(1-lDt)+p_n-1(t) lDt+o(Dt).

p₀(t+Dt)=p₀(t)(1-lDt)+o(Dt).

В результате имеем систему уравнений:

p_n'(t) =-lp_n(t)+ lp_n-1(t).

p₀'(t) =-lp₀(t)+ lp_n-1(t).

p₀(0)=1, p_n(0)=0.

Тогда

p₀(t)=1-e^-lt

p_n(t)= (lt)ⁿ/n! e^-lt

- пуассоновское распределение!

Подсчитаем среднее число поступивших вызовов за время t

M[N_t]=0(1-e^-lt)+1(lt)/1! e^-lt+2(lt)²/2! e^-lt+... +n(lt)ⁿ/n! e^-lt+...=

=(lt) e^-lt(1+(lt)/1! +(lt)²/2!+...)= lt