- поле скаляров, 
- арифметическое 
- мерное векторное пространство, где 
- множество операций умножения на скаляр, 
.
Определение. Множество всех линейных комбинаций 
с коэффициентами из 
называется линейной оболочкой векторов ; обозначается 
.
Пример 1. 
; 
= 
= 
-множество 3-мерных векторов, у которых первая и последняя компоненты совпадают.
Пример 2. Рассмотрим систему единичных - мерных векторов. 
,
= 
.
Определение. Линейная оболочка пустой системы векторов состоит из одного нулевого вектора.
Теорема 1. Если 
; 
, то 
.
Доказательство.
Если т.е. -линейная комбинация векторов ; а каждый 
, 
-линейная комбинация векторов 
, то -линейная комбинация векторов , т.е. .
■
Теорема 2. Если 
принадлежат линейной оболочке 
, то 
-линейно зависимая система векторов.
Другими словами, любые 
вектора, принадлежащие линейной оболочке из 
векторов, - линейно зависимы.
Доказательство.
1) Если хотя бы один из векторов равен 
, то система линейно зависима, (из свойства 1).
2) Пусть 
. Для доказательства теоремы применим метод математической индукции.
i) 
, 
; 
, 
и 
, поэтому 
.
Рассмотрим линейную комбинацию:
.
Линейная комбинация равна нулю, а не все скаляры равны нулю, поэтому - линейно зависимая система векторов.
ii) Предположим, что утверждение доказано для числа 
, т.е. любые 
векторов, принадлежащие линейной оболочке от 
вектора линейно зависимы.
iii) Докажем утверждение теоремы для числа 
.
, тогда существуют 
, такие, что
(1)
1) Если в этой системе все коэффициенты при векторе 
равны 0, т.е. 
, то 
; по индукционному предположению - линейно зависимая система векторов. Тогда - линейно зависимая система векторов по свойству 2.
2) Пусть хотя бы один из коэффициентов при векторе не равен нулю, т.е. среди чисел 
есть ненулевые.
Пусть 
. Из последнего равенства системы (1) имеем:
, то есть - линейная комбинация векторов 
.
Заменим в первых «
» равенствах системы (1) вектор полученным выражением:
По индукционному предположению, векторы: 
- линейно зависимы. Тогда существуют 
, такие, что 
и не все 
равны 0.
.
Скаляры 
не все равны 0, поэтому - линейно зависимая система векторов.
По методу математической индукции теорема доказана для всех 
.
■
Следствие 1. Пусть 
и 
, тогда 
-линейно зависимая система векторов.
Следствие 2. Пусть и -линейно независимая система векторов, тогда 
.
Следствие 3. В - мерном арифметическом пространстве любая система векторов, содержащая более векторов, линейно зависима.
Доказательство.
Пусть 
, 
- линейно зависимая система векторов.
■
Пример. 
, 
, 
, 
.
Векторы линейно зависимы в 
.
