Примеры. 1. Найти линейную комбинацию векторов :

1. Найти линейную комбинацию векторов :

а) ;

б) .

Решение:

а)

.

2. Найтивектор , для которого выполняются условия:

а) где

б) где .

Решение:

а) Подставим в выражение координаты данных векторов: .

Выполним скалярное умножение и представим как вектор с координатами :

.

 

б) Пусть . Подставим в выражение координаты данных векторов:

Выполнив скалярное умножение, получим систему уравнений:

.

Следовательно, .

 

3. Описать линейные оболочки системы векторов:

а) ; б) ;

 

в) ; г) .

Решение:

а)

– система векторов, у которой вторая и четвертая координаты равны 0.

в)

– система векторов, у которой четвертая координата зависит от второй, пятая – от первой и четвертой.

4. а)Доказать, что система векторов, содержащая два одинаковых вектора, линейно зависима.

б) Доказать, что система векторов, содержащая два пропорциональных вектора, линейно зависима.

Решение:

а) Пусть – система векторов. Учитывая условие задачи, рассмотрим . Составим линейную комбинацию этой системы: , где и не все равны 0.

Например, , то есть , значит, система векторов линейно независима.

 

5. -линейно независимая система векторов. Определить будут ли линейно зависимыми или линейно независимыми следующие системы:

а) ;

б) .

Решение:

а) Составим линейную комбинацию системы векторов и выясним, при каких она обращается в :

Таким образом, получили, что – линейно независимая система векторов.

 

6. Будет ли система векторов из , где , линейно зависимой или линейно независимой?

Решение:

Составим линейную комбинацию системы векторов и выясним, при каких она обращается в :

.

Решим систему уравнений:

.

Значит, – линейно независимая система векторов.

 

7. Проверить будет ли система векторов , где линейно независимой или линейно зависимой.

Решение:

Данная система векторов называется системой единичных векторов n-мерного векторного пространства. Составим линейную комбинацию системы векторов и выясним, при каких она обращается в :

.

Следовательно, – линейно независимая система векторов.