Невязки

r[0]=0.000

r[1]=0.000

r[2]=0.000

ІНТЕРПОЛЮВАННЯ ФУНКЦІЙ

Нехай на відрізку [a;b] визначено певний клас функцій {P(x)}, наприклад, клас алгебраїчних многочленiв, а в точках x₀,x₁,...,x_n цього проміжку задано значення деякої функції y=f(x): y₀=f(x₀), y₁=f(x₁),..., y_n=f(x_n). Наближену заміну функції f на відрізку [a;b] однією з функцій P(x) цього класу так, щоб функція P(x) в точках x₀,x₁,...,x_n набувала тих самих значень, що й функція f, називають інтерполюванням або інтерполяцією. Точки x₀, x₁,...,x_n називають вузлами інтерполювання, функцію P(x) - інтерполюючою функцією, а формулу f(x)»P(x), за допомогою якої обчислюють значення функції f у проміжку [a;b], - інтерполяційною формулою.

Якщо функція P(x) належить до класу алгебраїчних многочленiв, то інтерполювання називається параболічним. Параболічне інтерполювання найзручніше, оскільки многочлени, які прості за формою і не мають особливих точок, можуть набувати довільних значень, їх легко обчислювати, диференціювати та інтегрувати.

Сформулюємо задачу параболічного інтерполювання: в n+1 різних точках x₀, x₁,...,x_n задано значення функції f: y₀=f(x₀), y₁=f(x₁),..., y_n=f(x_n) і треба побудувати многочлен

P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n-1x+a_n

степеня n, який задовольняв би умови:

P_n(x_i)=y_i (i=0,1,..., n).

Задача має єдиний розв’язок. Многочлен P_n(x) називають інтерполяційним многочленом. Інтерполяційний многочлен єдиний, проте можливі різні форми його запису.

Інтерполяційний многочлен будують тоді, коли:

функцію задано таблично для деяких значень аргументу, а треба знайти її значення для значень аргументу, яких в таблиці нема.

функцію задано графічно, а треба знайти її наближений аналітичний вираз.

функцію задано аналітично, але її вираз досить складний і незручний для виконання різних математичних операцій.

При написанні даної роботи розглядалася перша задача - чисельної інтерполяції.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Інтерполяційний многочлен Лагранжа має такий вираз:

L_n(x)=

Многочлен Лагранжа зручно будувати у випадку рівновіддалених вузлів.

Завдання. Задане табличне представлення функції:

Методом інтерполяції Лагранжа знайти значення функції при x=13.

Програмна реалізація

Здійснена на мові С.