Вывод основных законов электрического тока в классической теории электропроводности металлов

1. Закон Ома. Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле напряжённостью . Со стороны поля заряд испытывает действие силы и приобретает ускорение . Таким образом, во время свободного пробега электроны движутся равноускоренно, приобретая к концу свободного пробега скорость

где - среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решётки.

Согласно теории Друде, в конце свободного пробега электрон, сталкиваясь с ионами решётки, отдаёт им накопленную в поле энергию, поэтому скорость его упорядоченного движения становится равной нулю. Следовательно средняя скорость направленного движения электрона

. (1)

Классическая теория металлов не учитывает распределения электронов по скоростям, поэтому среднее время свободного пробега определяется средней длиной свободного пробега и средней скоростью движения электронов относительно кристаллической решётки проводника, равной ( - средняя скорость теплового движения электронов). Ранее было доказано << , поэтому

.

Подставив значение в (1), получим:

Плотность тока в металлическом проводнике

, (2)

откуда видно, что плотность тока пропорциональна напряженности поля, т. е. получили закон Ома в дифференциальной форме. Коэффициент пропорциональности между и есть не что иное, как удельная проводимость материала

, (3)

которая тем больше, чем больше концентрация свободных электронов и средняя длина их свободного пробега.

2. Закон Джоуля – Ленца. К концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает дополнительную кинетическую энергию

(4)

При соударении электрона с ионом эта энергия полностью передаётся решётке и идёт на увеличение внутренней энергии металла, т. е. на его нагревание.

За единицу времени электрон испытывает с узлами решётки в среднем столкновений:

(5)

Если n – концентрация электронов, то в единицу времени происходит столкновений и решётке передаётся энергия

, (6)

которая идёт на нагревание проводника. Подставив (4), (5) в (6) получим таким образом энергию, передаваемую решётке в единице объёма проводника за единицу времени,

. (7)

Величина является удельной тепловой мощностью тока. Коэффициент пропорциональности между и по (3) есть удельная проводимость ; следовательно, выражение (7) – закон Джоуля –Ленца в дифференциальной форме.

3. Закон Видемана-Франца. Видеманом и Францем экспериментальноустановлен закон, согласно которому отношение теплопроводности к удельной проводимости для всех металлов при одной и той же температуре одинаково и увеличивается пропорционально термодинамической температуре:

,

где - постоянная, не зависящая от рода металла.

Таким образом, классическая теория электропроводности металлов объяснила законы Ома и Джоуля – Ленца, а также дала качественное объяснение закона Видемана – Франца.