Теорема о циркуляции

Существует еще одно общее соотношение, которое связывает магнитную индукцию с током. Это соотношение носит название теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции. Пусть магнитное поле создается прямым проводником с током. Рассмотрим произвольный контур Г и зададим на нем направление обхода. Пусть представляет проекцию вектора на направлении элемента (рис. 4.9). Сумма произведений для замкнутого контура Г называется циркуляцией вектора по замкнутому контуру Г. Циркуляцию проще рассчитать, когда контур совпадает с одной из силовых линий магнитного поля проводника. В этом случае вектор в каждой точке параллелен , тогда

.

Из последнего соотношения видно, что циркуляция вектора магнитной индукции не зависит от радиуса контура.

В случае контура произвольной формы , но , где R – радиус окружности с центром на проводнике с током, совпадающей на малом участке с элементом контура . Так как вклад в циркуляцию от элемента окружности любого радиуса одинаков, то

и

.

Таким образом, циркуляция вектора по произвольному контуру равна произведению m₀ на силу тока I, пронизывающего контур, по которому берется циркуляция. Если контур не охватывает ток, то циркуляция вектора равна нулю.

Рис. 4.10

Магнитное поле соленоида. Соленоид представляет собой цилиндрическую катушку с плотно прилегающими витками. Опыт показывает, что внутри длинной катушки поле однородно и линии магнитной индукции идут параллельно ее оси (рис. 4.5б). Снаружи поле в случае бесконечно длинной катушки равно нулю. Найдем индукцию магнитного поля внутри соленоида. Для этого воспользуемся теоремой о циркуляции. На рис. 4.10. представлено сечение соленоида плоскостью, проходящей через его ось. Вычислим циркуляцию вектора индукции В по прямоугольному контуру abcd. Стороны bc и ad параллельны линиям индукции; стороны ab и cd перпендикулярны линиям магнитной индукции, и проекции вектора магнитной индукции на эти стороны равны нулю. Поэтому циркуляция вектора будет равна , где – длина стороны bc.

Пусть число витков соленоида на единицу его длины равно n. Тогда полный ток, который пронизывает контур, равен . Согласно теореме о циркуляции , отсюда для бесконечно длинного соленоида получим:

.

Заметим, что вблизи краев соленоида поле уже не будет однородным, и его нельзя определить по полученной формуле. Кроме того, если соленоид нельзя считать бесконечно длинным, то индукция магнитного поля вне соленоида не равна нулю.