Дано: эллипс с фокусами и
,
– большая полуось,
– половина расстояния между фокусами.
Возьмем за ось абсцисс прямую , а точку
поместим на середине отрезка
. Пусть
– произвольная точка плоскости. Пусть
,
.
По определению эллипса точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда
. (7)
Координаты фокусов равны соответственно ,
, следовательно
,
.
Подставим и
в (7):
+
=
. (8)
(8) – уравнение эллипса в заданной системе координат. Преобразуем его к виду =
и возведем в квадрат обе части уравнения:
;
; возведем в квадрат еще раз:
;
.
Обозначим , получим
.
После приведения к каноническому виду уравнение эллипса запишется так:
. (9)
Эллипс, определяемый уравнением , симметричен относительно
и
.
- центр эллипса,
и
- большая и малая полуоси эллипса.
При получаем
- уравнение окружности.
Определение. Эксцентриситет эллипса – отношение расстояния между фокусами к длине его большей оси: . (10)
Так как , следовательно
< 1.
, следовательно,
.
Определение. Две прямые, перпендикулярные к большей оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называется директрисами эллипса.
Их уравнения: и
. Так как
, следовательно,
.