Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду




АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

 

 

Кривые второго порядка. 2

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду 2

Эллипс. 5

Вывод уравнения эллипса. 5

Гипербола. 7

Парабола. 8

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка». 9

 


Кривые второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка в декартовой системе координат имеет вид

A, B, C – одновременно не равны нулю.

Важнейшие случаи общего уравнения кривой II порядка.

1. Эллипс: , (). При - окружность. ;

2. Гипербола: , () с полуосями и ;

3. Парабола: , ();

4. Пара пересекающихся прямых: , ()

, ;

5. Пара параллельных или совпадающих прямых: , ()

;

6. Точка: .

Могут быть случаи, когда нет точек, удовлетворяющих уравнению:

- мнимая кривая II порядка (эллипс мнимый);

- пара мнимых параллельных прямых.

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду

(*)

В большинстве формул теории линий второго порядка коэффициенты входят деленными на 2, т. е. буквы обозначают половину коэффициента. Первые три члена уравнения называются старшими членами.

Можно записать уравнение (*) следующим образом:

Пусть дано общее уравнение II порядка (*). Требуется упростить это уравнение путём перехода к другой системе координат (с более выгодным расположением осей):

1) добиться, чтобы число членов первой степени стало наименьшим;

2) в группе старших членов избавиться от слагаемого с произведением координат;

3) избавиться от свободного члена.

Для этого воспользуемся параллельным переносом и поворотом координатных осей.

Выведем формулы преобразования координат при параллельном переносе и повороте осей. Пусть точка имеет координаты в «старой системе координат» и – в новой системе координат, полученной путем параллельного переноса и последующего поворота осей.

Параллельный перенос координатных осей

 

 

(1)

 

Поворот координатных осей

Пусть ,

.

 

 

,

.

(2)

Формулы (1) и (2) задают старые координаты точки через ее координаты в новой системе.

Рассмотрим приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду на примере.

Пусть дано общее уравнение второго порядка:

. (3)

Произведем параллельный перенос координатных осей в точку по формулам (1): .

(3’)

Чтобы избавиться от членов первого порядка, приравняем коэффициенты при них к нулю:

Решив систему, найдем координаты точки S , нового начала координат: S . Подставим эти координаты в уравнение (3’). В новых координатах уравнение примет вид:

(4)

Геометрический смысл преобразования – перенести начало координат в центр кривой.

Осталось повернуть оси, чтобы они совпали с осями симметрии кривой. Воспользуемся формулами поворота координатных осей (2).

(5)

Подбираем угол так, чтобы коэффициент при произведении стал равен нулю, т. е. решаем уравнение

.

,

.

Определяем и подставляем в (5):

.

Приводим уравнение к каноническому виду, разделив все коэффициенты на 20:

. (6)

Уравнение (6) – это каноническое уравнение эллипса с полуосями 2 (по оси О ) и 1(по оси О ).

Эллипс

Определение. Эллипс – это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости и есть постоянная величина. Точки и называются фокусами.

и - фокальные радиусы точки .

 

 

 

0

 

 

, ,

следовательно ,

.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-09-20; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 802 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Студенческая общага - это место, где меня научили готовить 20 блюд из макарон и 40 из доширака. А майонез - это вообще десерт. © Неизвестно
==> читать все изречения...

2402 - | 2352 -


© 2015-2025 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.01 с.