Обчислення|підрахунок| середньої зваженої.
Лекции.Орг

Поиск:


Обчислення|підрахунок| середньої зваженої.

Середня зважена є результатом усереднювання середніх арифметичних декількох сукупностей|. Вона обчислюється за формулою (7):

(7)

де хвзв| – середня зважена; х1, х2, х3 – середні арифметичні 1-ої, 2-ої і т.д. сукупностей|; n1, n2, n3 – об'єм|обсяг| сукупності.

Приклад|зразок| А.Відомасередня висота і кількість саджанців лавра благородного (Laurus nobilis L.) на трьох карантинних ділянках. Вони складають: на першій – = 380 мм, n1=1000; на другій – = 460 мм n2=500; на третій – = 400 мм n3=2000. Потрібно обчислити|обчисляти,вичислити| середню висоту за даними трьох карантинних ділянок.

При обчисленні|підрахунку| середньої зваженої враховують не тільки|не лише| середню висоту рослин на кожній карантинній ділянці ( , , ), але й об'єм|обсяг| вибірки (n1, n2, n3), за якою була обчислена|обчисляти,вичислені| середня арифметична на кожній карантинній ділянці.

Використовуючи для обчислення|підрахунку| середньої зваженої формулу (7), одержимо|отримаємо|:

Приклад|зразок| Б.Розрахуйтесередній вміст нітратів в листках рослин чорнобривців розлогих (Tagetes patula L.) в червні, липні і серпні, за наведеними в табл. 12 даними.

 

Таблиця 12

Місяці Середній вміст нітратів в листках, мг/г сухої речовини Об'єм|обсяг| вибірки
Червень 42,3
Липень 50,4
Серпень 52,3

 

4. Обчислення|підрахунок| середнього квадратичного відхилення.Порівняємо, наприклад, дані з підрахунку кількості стебел|стеблин| у|в,біля| 10 рослин двох сортів|гатунків| ячменю:

сорт|гатунок| А . . . . . . .
сорт|гатунок| Б . . . . . . .

Середня арифметична обох сортів|гатунків| однакова і дорівнює 3-м стеблам|стеблинам|. В той же час неважко|скрутно| помітити|помітити|, що більшість варіант першого сорту має значення, рівне середньому, а інші – близькі до нього; у другого ж сорту є|наявний| варіанти, які різко відрізняються від . Інакше кажучи, ознака, що вивчається, у|в,біля| сорту|гатунку| А варіює значно менше, ніж у|в,біля| сорту|гатунку| Б, і в цьому відношенні сорти|гатунки| не тотожні.

Ступінь|міру| варіювання краще всього характеризувати шляхом порівняння значення кожної з варіант із|із| середньою арифметичною. Насправді|дійсно|, якщо всі варіанти вибірки мають значення, що дорівнюють середній арифметичній, то ніякого|жодного| варіювання немає. І, навпаки, чим більше відрізняються значення варіант від середньої і чим істотніше відмінність між окремими варіантами, тим сильніше варіюють варіанти за ознакою|лава,низка|.

Повернемося до прикладу|приміром| варіювання числа стебел|стеблин| у|в,біля| двох сортів|гатунків| ячменю. При обчисленні|обчисляючи,вичисливши| відхилення значення кожної з варіант від середньої арифметичної, одержимо|отримаємо| такі| два ряди|лави,низки| цифр:

сорт|гатунок| А . . . . . . – 1 – 1 + 1 + 1
сорт|гатунок| Б . . . . . . . – 2 – 2 – 1 – 1 + 1 + 2 + 3

Варіанти другого ряду|лави,низки| сильніше відхиляються від середньої арифметичної, або, інакше кажучи, розсіяння його більше, ніж розсіяння першого ряду|лави,низки|. Здавалося б, що для характеристики середньої величини відхилень досить було б обчислити|обчисляти,вичислити| їх середнє арифметичне, тобто|цебто| підсумовувати їх і поділити на загальне|спільне| число. Але|та| практично це здійснити неможливо, оскільки|тому що| сума відхилень від завжди дорівнює нулю.

Для характеристики ступеня|міри| варіювання відхилення окремих варіант від середньої арифметичної підносять у квадрат. При цьому всі знаки стануть позитивними, і сума їх буде позитивною величиною. Крім того, при піднесенні в квадрат і підсумовуванні відхилень, які як надалі відстоять від середньої, є|з'являються,являються| відносно великими доданками. Внаслідок цього сума квадратів відхилень при одному і тому ж числі спостережень буде тим більше, чим суттєвіше розкид експериментальних даних.

Щоб елімінувати вплив об'єму|обсягу| сукупності, суму квадратів ділять на число спостережень. Одержаний|отриманий| таким чином середній квадрат відхилень від середньої арифметичної називають дисперсією (або розсіянням). Дисперсія генеральної сукупності позначається|значиться| σ2. При обробці вибіркових сукупностей знаходять|находять| оцінку генеральної дисперсії s2, що більш менш наближається до σ2.

Добувши корінь квадратний з|із| σ2, знаходять|находять| показник варіювання, так зване середнє квадратичне відхилення (або стандартне відхилення), яке відіграє дуже важливу|поважну| роль при аналізі дослідних даних.

Таким чином, загальною|спільною| формулою для знаходження s (або σ|β,α³λ|) буде:

(8)

При обробці згрупованих варіаційних рядів|лав,низок| формула (8) набуває такого вигляду:

(9)

де х – значення ознаки, що варіює; – середня арифметична; f – частоти групи; n – загальне|спільне| число спостережень.

Знаменник «n–1» називають у статистиці «числом ступенів свободи». Така назва пояснюється тим, що в статистиці при обчисленні|підрахунку| будь-яких середніх величин використовують число незалежних величин. При обчисленні|підрахунку| середньої арифметичної всі спостереження беруть участь в її утворенні і в цьому відношенні незалежні один від одного. Тому суму значень ділять на загальне|спільне| число, варіант, тобто|цебто| на n. Коли ж обчислюють|обчисляють,вичисляють| середнє відхилення, то число незалежних величин буде не n, а n–1, оскільки|тому що| кожне з відхилень визначається величиною всіх інших і чисельно дорівнює їх сумі, узятих із|із| зворотним знаком. Так, якщо є|наявний| чотири відхилення від середньої: 4, –2, –3, +1, то, наприклад, 4 = (–2) + (–3) +1 = –4 і т.д. Тому суму квадратів відхилень ділять не на n, а на n – 1. Це означає, що (n–1) відхилень є|з'являються,являються| незалежними величинами і можуть мати будь-яке значення, а одне відхилення позбавлено свободи варіювання і визначається іншими. Число мір свободи зазвичай позначають|значать| грецькою буквою|літерою| υ (ню).

У великих вибірках (близько 300–500 і більше варіантів) зменшення дільника дисперсії на одиницю мало змінює|зраджує| його абсолютну величину. Середнє квадратичне відхилення – завжди позитивна величина і виражається|виказується,висловлюється| в тих же одиницях вимірювання|виміру|, що і ознака, що вивчається.

Перш ніж перейти до розгляду різних способів обчислення|підрахунку| середнього квадратичного відхилення, вкажемо, що ∑(х– |)2 може бути обчислена|обчисляти,вичислена| за будь-якою з наступних|слідуючих| формул:

∑(х– |)2= або ∑f(х– |)2= (10)

∑(х– |)2= або ∑f(х– |)2= (11)

∑(х– |)2= або ∑f(х– |)2= (12)

Застосування|вживання| цих формул значно скорочує об'єм|обсяг| обчислювальної роботи, особливо при використанні для розрахунків рахунково-обчислювальних машин.

Приклад|зразок|А. Вичисліть середню арифметичну і середнє квадратичне відхилення за формулою (9) для розподілу даних у табл. 13.

 

Таблиця 13 – Розподіл емпіричних даних

Середнє значення групи (Х) Частоти (f) fX fX2
X

 

см2

.

Для перевірки вірності обчислення|підрахунку| суми квадратів відхилень слід повторити її обчислення|підрахунок|, застосувавши іншу формулу, наприклад (8).

5. Обчислення|підрахунок| коефіцієнта варіації.Середнє квадратичне відхилення, що якнайкраще характеризує ступінь|міру| мінливості ознаки, є|з'являється,являється| початковою|вихідною| величиною для визначення ряду|лави,низки| інших статистичних показників. Один з них – це так званий коефіцієнт варіації є характеристикою ступеня|міри| варіювання.

В процесі досліджень часто виникає необхідність зіставити міру варіювання однієї і тієї ж ознаки в різних вибірках (наприклад, у|в,біля| різних сортів|гатунків|) або різних ознак у|в,біля| представників однієї вибірки або одного сорту, виду рослин. Проте|однак| безпосередньо за величиною s можна судити про відносну силу варіювання тільки|лише| в тих випадках, коли середні арифметичні обох рядів|лав,низок| дорівнюють одна одній. За різних значень порівняння ступеня|міри| мінливості викликає|спричиняє| утруднення|скруту|. Пояснимо це наступним|таким| прикладом|зразком|. У|в,біля| двох сортів|гатунків| ярової пшениці і s довжини головного стебла|стеблини| дорівнюють: у|в,біля| Гордєїформе 432 = 77,5 см; s1 = 7,50 см; у|в,біля| Гордєїформе 802 = 92,1 см; s2 = 11,6 см.

Середні значно відрізняються одна від одної, і за величиною s важко|скрутно| сказати, у|в,біля| якого з|із| цих сортів|гатунків| сильніше варіює довжина стебла|стеблини|. Ще більше утруднень|скрути| спостерігається при оцінці ступеня|міри| варіювання різних ознак у|в,біля| одного і того ж сорту|гатунку|. Проте|однак| всі вони значною мірою відпадають, якщо для характеристики варіювання скористатися не абсолютним, а відносним значенням середнього квадратичного відхилення, тобто|цебто| відношенням|ставленням| s до , вираженим|виказаним,висловленим| у відсотках|процентах|. Це і буде коефіцієнт варіації (V):

(13)

Так, наприклад, якщо s = 7,50, = 77,5, то для цих даних , тобто|цебто| середнє квадратичне відхилення складає 9,67 % від середньої арифметичної у|в,біля| сорту|гатунку| Годєїформе 435 і 12,59 % у|в,біля| сорту|гатунку| Гордєїформе 802.

Слід підкреслити, що значення коефіцієнта варіації особливо різко проявляється при порівнянні варіювання декількох ознак між собою. Зіставлення коефіцієнтів варіації дає ясне уявлення про ступінь|міру| варіювання ознак у даному досліді|досліді|.

6. Визначення показника різноманітності для альтернативних ознак.Якщо результати спостережень групуються в протилежні одна одній групи, їх варіювання на відміну від рядової мінливості називається альтернативним, а ознаки, за якими проводять спостереження альтернативними. Наприклад, співставлення чоловічих і жіночих особин|осіб|, хворих і здорових рослин і т.д. Показник різноманітності для альтернативних ознак визначають за допомогою середнього квадратичного відхилення в абсолютних і відносних значеннях за формулою:

або (14)

де σ|β,α³λ| – показник різноманітності для альтернативних ознак; p – частка|доля| особин|осіб|, що мають дану ознаку в сукупності; q – частка|доля| особин|осіб|, позбавлених даної ознаки в сукупності.

Приклад|зразок|. З|із| 100 рослин тюльпанів висаджених на клумбі 650 виявилися червоні, а 350 – пістрявопелюсткові (це може бути ознакою вірусного захворювання і бути небажаною ознакою). Визначити величину середнього квадратичного відхилення за показником наявності червоного забарвлення|фарбування| віночка.

; ;

p + q = 1

7. Оцінка варіант, що відхиляються.Найбільше значення ознаки у вибірці називається максимальною варіантою|, а найменше – мінімальною варіантою|. Якщо в ранжируваному варіаційному ряді |лаві,низці| значення максимальної або мінімальної варіанти надмірно велике або мале порівняно з сусідніми значеннями ряду|лави,низки|, то необхідно перевірити приналежність до даної сукупності тих варіант, що таких різко відхиляються, оскільки вони можуть відноситися до іншого сорту|гатунку|, іншої популяції, а також виникнути із-за грубої помилки при вимірюванні|вимірі| або підрахунку. У подібних випадках варіанти, що різко відхиляються і чужими для даної сукупності, повинні бути виключені з|із| вибірки. Проте|однак| це виключення|виняток| повинно бути обґрунтовано за допомогою кількісної оцінки відхилення таких варіант.

Для максимальної варіанти (за нормального або близькому до нього розподілі варіант) застосовується формула (15):

(15)

де υN – критерій приналежності максимальної варіанти до сукупності; хN – максимальна варіанта; XN–1 – варіанту, наступна|слідуюча| за величиною після максимальної; х2 – варіанта, що стоїть у ранжируваному ряду|лаві,низці| поряд із|поряд із| мінімальною.

Перевіримо, наприклад, приналежність варіанти 82 в табл. 14 до даної сукупності.

 

Таблиця 14 – Висота рослин сої (у см) у вигляді ранжируваного незваженого варіаційного ряду|лави,низки|

Варіанти
∑х = 839
N = 13


.

Оскільки|тому що| обчислене|обчисляти,вичислене| значення критерію, яке для N = 13 дорівнює 0,520 (табл. 15), менше табличного, то варіанту не можна виключати з|із| вибірки.

 

Таблиця 15 – Значення критеріїв υN і υ1 при рівнях значущості 0,01 (верхнє число) і 0,05 (нижнє число)*

N ΥN(1) N ΥN(1) N ΥN(1)
0,991 0,955 0,520 0,410 0,414 0,320
0,916 0,807 0,502 0,395 0,407 0,314
0,805 0,689 0,486 0,381 0,400 0,309
0,740 0,610 0,472 0,369 0,394 0,304
0,683 0,554 0,460 0,359 0,389 0,299
0,635 0,512 0,449 0,349 0,383 0,295
0,597 0,477 0,439 0,341 0,378 0,291
0,566 0,450 0,430 0,334 0,374 0,287
0,541 0,428 0,421 0,327 0,369 0,283

* Якщо обчислені|обчисляти,вичислені| значення υN або υ1 перевищують табличні, то варіанта відкидається

 

Для мінімальної варіанти при розподілі, що не сильно відрізняється від нормального, застосовується формула:

(16)

υ1 – критерій приналежності мінімальної варіанти х1 до сукупності; х2 – варіанта, що стоїть поряд із|поряд із| мінімальною; ХN–1 – друга за значенням варіанта після|потім| максимальної.

Для прикладу|зразка| оцінимо приналежність варіанти 43 у табл. 14 до даної сукупності:

.

Розраховане значення критерію менше за табличне (табл. 15): 0,029 < 0,520, тому відкидати варіанту не можна|прямує|.

У випадку, якщо|у разі , якщо,в случае | різко відхиляються за величиною не тільки|не лише| крайні варіанти, але й сусідні з|із| ними, приналежність їх до даної сукупності оцінюється за тими ж формулами. Наприклад, з|із| варіаційного ряду|лави,низки| 192, 187, 135, 127, 120, 111, 98, 87, 71, 66, 52, 47, 41, 12, 9 треба перевірити варіанту 187 і варіанту 12. Якщо ці варіанти виявляться чужими для даної вибірки, то варіанти 192 і 9 також повинні бути виключені. Якщо відомо середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої сукупності, то оцінку ступеня|міри| відхилення максимальної або мінімальної варіанти можна зробити точніше за допомогою табл. 15 і формул (17) і (18):

(17)

(18)

де σ|β,α³λ| – середнє квадратичне відхилення, решта позначень такі ж, що і у формулах (15) і (16).

Якщо відомо значення σ|β,α³λ| (σ|β,α³λ| = 11,98) повторимо процедуру оцінки цих же варіант за формулами (17) і (18).

.

За табл. 16 критичне значення для об'єму|обсягу| сукупності N = 10 (приймаємо найближче менше число) при рівні значущості 0,05 дорівнює 1,46, що більше обчислювальних значень. Отже, немає підстав відкидати як максимальну, так і мінімальну варіанти. Якщо варіанта після|потім| описаних способів перевірки відкидається, то обчислення|підрахунок| σ|β,α³λ| слід повторити для нової зменшеної вибірки.

 

Таблиця 16 – Критичне значення різниці між двома крайніми варіантами сукупності

Об'єм|обсяг| сукупності, N Рівні значущості Об'єм|обсяг| сукупності, N Рівні значущості
0,10 0,05 0,01 0,005 0,10 0,05 0,01 0,005
2,33 2,77 3,64 3,97 0,83 1,04 1,50 1,70
1,79 2,17 2,90 3,20 0,82 1,03 1,50 1,67
1,18 1,46 2,03 2,27 0,81 1,02 1,47 1,57
1,03 1,27 1,80 2,00 0,75 0,95 1,38 1,55
0,96 1,20 1,70 1,90 0,72 0,91 1,32 1,50
0,91 1,15 1,63 1,85 0,70 0,88 1,30 1,47
0,88 1,11 1,60 1,80 0,68 0,87 1,28 1,45
0,86 1,08 1,57 1,76 0,65 0,83 1,22 1,40
0,84 1,06 1,53 1,72          

 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Обчислення|підрахунок| середньої арифметичної у великих вибірках. | ІІ. Практичне завдання|задавання|.

Дата добавления: 2015-02-12; просмотров: 292 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.