В результате измерения получают значение измеряемой величины в виде числа в принятых единицах величины. Погрешность измерения тоже удобно выражать в виде числа. Однако погрешность измерения является случайной величиной, исчерпывающим описанием которой может быть только закон распределения. Из теории вероятностей известно, что закон распределения можно охарактеризовать числовыми характеристиками, которые и используются для количественной оценки погрешности.
Основными числовыми характеристиками законов распределения являются математическое ожидание и дисперсия, которые определяются выражениями:
где М — символ математического ожидания; D — символ дисперсии.
Математическое ожидание погрешностиизмерений есть неслучайная величина, относительно которой рассеиваются другие значения погрешностей при повторных измерениях. Математическое ожидание характеризует систематическую составляющую погрешности измерения. Как числовая характеристика погрешности М [Δх] показывает на смещенность результатов измерения относительно истинного значения измеряемой величины.
Дисперсия погрешности D [Δх] характеризует степень рассеивания (разброса) отдельных значений погрешности относительно математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс, тем точнее выполнены измерения. Следовательно, дисперсия может служить характеристикой точности проведенных измерений. Однако дисперсия выражается в единицах погрешности в квадрате. Поэтому в качестве числовой характеристики точности измерений используют среднее квадратическое отклонение
с положительным знаком и выражаемое в единицах погрешности.
Обычно при проведении измерений стремятся получить результат измерения с погрешностью, не превышающей допускаемое значение. Знание только среднего квадратического отклонения не позволяет найти максимальную погрешность, которая может встретиться при измерениях, что свидетельствует об ограниченных возможностях такой числовой характеристики погрешности, как σ(Δх). Более того, при разных условиях измерений, когда законы распределения погрешностей могут отличаться друг от друга, погрешность с меньшей дисперсией может принимать большие значения.
Максимальные значения погрешности зависят не только от σ(Δх), но и от вида закона распределения. Когда распределение погрешности теоретически неограниченно, например при нормальном законе распределения, погрешность может быть любой по значению. В этом случае можно лишь говорить об интервале, за границы которого погрешность не выйдет с некоторой вероятностью. Этот интервал называют доверительным интервалом, характеризующую его вероятность — доверительной вероятностью, а границы этого интервала — доверительными значениями погрешности. В практике измерений применяют различные значения доверительной вероятности, например: 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9973 и 0,999. Доверительный интервал и доверительную вероятность выбирают в зависимости от конкретных условий измерений. Так, например, при нормальном законе распределения случайных погрешностей со средним квадратическим отклонением σ(
) часто пользуются доверительным интервалом от +3 σ() до —3 σ(), для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3 σ(). Так как на практике число отдельных измерений редко превышает несколько десятков, появление даже одной случайной погрешности, большей, чем 3 σ(
), маловероятное событие, наличие же двух подобных погрешностей почти невозможно. Это позволяет с достаточным основанием утверждать, что все возможные случайные погрешности измерения, распределенные по нормальному закону, практически не превышают по абсолютному значению 3 σ() (правило «трех сигм»).
Любая из форм представления результата измерения должна содержать данные, на основании которых может быть определен доверительный интервал для погрешности результата измерения. В общем случае доверительный интервал может быть установлен, если известен вид закона распределений погрешности и основные числовые характеристики этого закона.
