Вероятностные оценки погрешностей

В результате измерения получают значение измеряемой вели­чины в виде числа в принятых единицах величины. Погрешность измерения тоже удобно выражать в виде числа. Однако погреш­ность измерения является случайной величиной, исчерпывающим описанием которой может быть только закон распределения. Из теории вероятностей известно, что закон распределения можно охарактеризовать числовыми характеристиками, которые и используются для количественной оценки погрешности.

Основными числовыми характеристиками законов распреде­ления являются математическое ожидание и дисперсия, которые определяются выражениями:

где М — символ математического ожидания; D — символ дис­персии.

Математическое ожидание погрешностиизмерений есть не­случайная величина, относительно которой рассеиваются другие значения погрешностей при повторных измерениях. Математиче­ское ожидание характеризует систематическую составляющую погрешности измерения. Как числовая характе­ристика погрешности М [Δх] показывает на смещенность резуль­татов измерения относительно истинного значения измеряемой величины.

Дисперсия погрешности D [Δх] характеризует степень рассеи­вания (разброса) отдельных значений погрешности относительно математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс, тем точнее выполне­ны измерения. Следовательно, дисперсия может служить харак­теристикой точности проведенных измерений. Однако дисперсия выражается в единицах погрешности в квадрате. Поэтому в ка­честве числовой характеристики точности измерений используют среднее квадратическое отклонение

с положи­тельным знаком и выражаемое в единицах погрешности.

Обычно при проведении измерений стремятся получить ре­зультат измерения с погрешностью, не превышающей допускае­мое значение. Знание только среднего квадратического отклоне­ния не позволяет найти максимальную погрешность, которая может встретиться при измерениях, что свидетельствует об огра­ниченных возможностях такой числовой характеристики погрешности, как σ(Δх). Более того, при разных условиях измерений, когда законы распределения погрешностей могут отличаться друг от друга, погрешность с меньшей дисперсией может прини­мать большие значения.

Максимальные значения погрешности зависят не только от σ(Δх), но и от вида закона распределения. Когда распределение погрешности теоретически неограниченно, например при нор­мальном законе распределения, погрешность может быть любой по значению. В этом случае можно лишь говорить об интервале, за границы которого погрешность не выйдет с некоторой веро­ятностью. Этот интервал называют доверительным интервалом, характеризующую его вероятность — доверительной вероятно­стью, а границы этого интервала — доверительными значениями погрешности. В практике измерений применяют различные значения дове­рительной вероятности, например: 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9973 и 0,999. Доверительный интервал и доверительную веро­ятность выбирают в зависимости от конкретных условий измере­ний. Так, например, при нормальном законе распределения слу­чайных погрешностей со средним квадратическим отклонением σ() часто пользуются доверительным интервалом от +3 σ() до —3 σ(), для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3 σ(). Так как на практике число отдельных измерений редко превышает несколько десят­ков, появление даже одной случайной погрешности, большей, чем 3 σ(), маловероятное событие, наличие же двух подобных по­грешностей почти невозможно. Это позволяет с достаточным основанием утверждать, что все возможные случайные погрешно­сти измерения, распределенные по нормальному закону, практи­чески не превышают по абсолютному значению 3 σ() (правило «трех сигм»).

Любая из форм представления результата измерения должна содержать данные, на основании которых может быть определен доверитель­ный интервал для погрешности результата измерения. В общем случае доверительный интервал может быть установлен, если известен вид закона распределений погрешности и основные чис­ловые характеристики этого закона.