Комплексные показатели надёжности

К комплексным показателям надёжности относятся коэффициенты: готовности, оперативной готовности, технического использования и сохранения эффективности. Все комплексные показатели описывают надёжность восстанавливаемых объектов.

Коэффициент готовности К _Г – это вероятность того, что объект окажется в рабо­тоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается. Различают стационарный и нестационарный коэффициенты готовности, а также средний коэффициент готовности [3].

Выведем выражение для стационарного коэффициента готовности восстанавливаемых объектов. С точки зрения потребителя интерес представляют два состояния таких объектов:

- S ₀(t) с вероятностью пребывания P ₀(t), в котором система может использоваться по своему назначению,

- S ₁(t) с ве­роятностью P ₁(t) - система использоваться по своему назначе­нию не может.

По определению К _г = P ₀ – вероятность застать систему в установившемся режиме в исправном состоянии, а К _п = P ₁ - вероятность застать систему в этом же режиме в неисправном состоянии. Граф переходов и зависимость состояния от времени такой системы показаны на рисунке 3.3 а и б (слева).

Дифференциальные уравнения для вероятностей состояний объекта можно составить по виду графа состояний, используя инженерное правило, сформулированное академиком А. Н. Колмогоровым [5]:

Производная по времени от вероятности P _k(t) пребывания системы в любой момент времени t в состоянии k равна алгебраической сумме произведений интенсивностей переходов в k -ое состояние (или из k -го состояния) на вероятность того состояния, откуда совершается переход в k -е состояние. Причем, тем слагаемым, которым соответствуют уходящие стрелки из k -го состояния приписывается знак “минус”, а входящим - “плюс”.

Кроме того, используется нормировочное отношение

(3.33)

В итоге для нашего примера имеем

dP ₀(t) / dt = - λ · P ₀(t) + μ · P ₁(t); (3.34)

dP ₁(t) / dt = λ · P ₀(t) - μ·P ₁(t); (3.35)

P ₀(t) + P ₁(t) = 1. (3.36)

С учётом того, что в установившемся режиме P _k не зависит от времени t и dP _к(t) / dt = 0 выражения (3.34) и (3.36) примут вид

0 = - λ · P ₀ + μ·P ₁; (3.37)

P ₀ + P ₁ = 1. (3.38)

Из двух последних уравнений имеем

P ₀ = (μ / λ)· P ₁ = (μ. / λ)·(1- P ₀) = (μ / λ) – (μ · P ₀) / λ. (3.39)

Откуда

P ₀ = (μ / λ) / (1 + μ / λ) = μ / (λ + μ) = К _г; (3.40)

P ₁ = 1- P ₀ = λ / (μ + λ) = К _п. (3.41)

Учтём, что интенсивности восстановления μ и интенсивности отказов λ определяются выражениями

μ = 1 / Т _в , (3.42)

λ = 1/ Т, (3.43)

где Т _в – среднее время восстановления, а Т - средняя наработка до отказа.

Тогда получим выражения для стационарных коэффициента готовности К _г и для коэффициента простоя К _п:

К _г = Т / (Т + Т _в), (3.44)

К _п = Т _в / (Т + Т _в). (3.45)

Коэффициент оперативной готовности К _ОГ(t) - это вероятность того, что объект окажется в ра­ботоспособном состоянии в произвольный момент времени t, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается, начиная с этого момента, будет работать безотказно в течение заданного интервала времени. При экспоненциальном законе вероятности безотказной работы

К _ОГ(t) = К _Г × ехр (- λ×t). (3.46)

Коэффициент готовности характеризует готовность объекта к применению по назначению только в отношении его работоспособности в произвольный мо­мент времени. Коэффициент же оперативной готовности характеризует надёжность объекта, необходимость применения которого возникает в произвольный момент времени, после которого требуется безотказная работа в течение заданного интервала времени.

Нестационарный коэффициент готовности k _Г(t), называемый также функцией готовности - это вероятность того, что объект окажется в рабо­тоспособном состоянии в заданный момент времени, отсчитываемый от начала работы (или от другого строго определённого момента времени). Иными словами, вероятность k _Г(t) пребывания системы в состоянии готовно­сти к функциональному применению называется функцией готов­ности [19, 21]:

(3.47)

При t → ∞

k _Г(t) = К _г. (3.48)

Средний коэффициент готовности - это усреднённое на данном интервале времени значение нестационарного коэффициента готовности [21].

Восстановительные работы могут состоять из работ по техническому обслуживанию (ТО) работоспособного, хотя и неисправного, изделия и ремонта отказавшего изделия. Пребывание изделия в этих состояниях учитывается и оценивается с помощью коэффициента технического использования - К _ТИ. Коэффициент технического использования характеризует долю продолжительности нахождения объекта в работоспособном состоянии относительно общей продолжительности эксплуатации [3, 14].

Выведем выражение для коэффициента технического использования восстанавливаемых объектов. Граф переходов и зависимость состояния от времени такой системы показаны на рисунках 3.3 а и б (справа). Дифференциальные уравнения для вероятностей состояний объекта составим по виду графа состояний, используя инженерное правило А. Н. Колмогорова. Кроме того, запишем нормировочное отношение (3.29). В итоге получим:

dP ₀(t) / dt = - P₀ (t)×(λ + Ʋ _ТО) + μ × Р ₁(t) + μ _ТО× Р ₂(t); (3.49)

dP ₁(t) / dt = λ · P ₀(t) – μ × P ₁(t); (3.50)

P ₀(t) + P ₁(t) + Р ₂(t) = 1. (3.51)

Здесь: интенсивности восстановления μ и интенсивности отказов λ определяются выражениями (3.42) и (3.43); интенсивность μ _ТО связана со средней продолжительностью ТО (Т _ТО), а интенсивность Ʋ _ТО - с периодом времени между предыдущим и последующим ТО (τ _ТО) зависимостями

Т _ТО = 1 / μ _ТО, (3.52)

τ _ТО = 1 / Ʋ _ТО. (3.53)

При t → ∞ с учетом стационарности наблюдаемого случайного процесса имеем [3]:

К _ТИ = Т / [ Т + Т _В + Т _ТО×(Т / τ_ТО)]. (3.54)

Оптимальный период времени между предыдущим и последующим ТО, в котором минимизируется величина коэффициента простоя К _П, находят по формуле [5]:

τ _{ТО ОПТ} = (2× Т _ТО× Т)^0,5. (3.55)

Однако в литературе коэффициент технического использования К _ТИ часто рассчитывают как отно­шение математического ожидания времени пребывания объекта в работоспособном состоянии за некоторый период эксплуатации к сумме математических ожиданий интервалов времени пребывания изделий в работоспособном состоянии и простоев, обусловленных техническим обслуживанием и ремонтом за тот же период:

К _ТИ = Т / (Т + Т _В + Т _ТО), (3.56)

то есть принимают отношение (Т / τ _ТО) в формуле (3.54) равным единице.

В процессе технического обслуживания также должно осуще­ствляться полное или частичное обновление системы, что зафик­сировано на графиках рисунков 3.3 б и в (справа) зависимостями Р (t) и λ (t). Однако в современных сложных РЭС отказ элемента или РЭУ не всегда ведет к отказу системы и с этой точки зрения являет­ся дефектом. В процессе эксплуатации возникает необходимость выявления дефектов и предотвращения отказов. Эффективность этого процесса можно характеризовать вероятностью отсутствия дефекта в произвольный момент времени при, нахождении РЭС в рабочем состоянии - коэффициентом отсутствия дефектов [3]:

(3.57)

где P _К(t) - представляется суммарной вероятностью пребывания РЭС в подмножестве К состояний, включающем в себя все ситуа­ции, когда в рабочем режиме отсутствуют дефекты.

Коэффициент сохранения эффективности - это отношение значения показателя эффективно­сти использования объекта по назначению за оп­ределенную продолжительность эксплуатации к номинальному значению этого показателя, вычисленному при условии, что отказы объекта в те­чение того же периода не возникают. Коэффициент сохранения эффективности характеризует степень влияния отказов объекта на эффективность его применения по назначе­нию. Для каждого конкретного типа объектов содержание понятия эффектив­ности и точный смысл показателя (показателей) эффективности задаются тех­ническим заданием и вводятся в нормативно-техническую и (или) конструк­торскую (проектную) документацию [14].

Распределения Пуассона, Эрланга и временные зависимости показателей надёжности для законов распределения наработки на отказ, характерных для участка приработки и участка постепенных износовых отказов