К комплексным показателям надёжности относятся коэффициенты: готовности, оперативной готовности, технического использования и сохранения эффективности. Все комплексные показатели описывают надёжность восстанавливаемых объектов.
Коэффициент готовности К Г – это вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается. Различают стационарный и нестационарный коэффициенты готовности, а также средний коэффициент готовности [3].
Выведем выражение для стационарного коэффициента готовности восстанавливаемых объектов. С точки зрения потребителя интерес представляют два состояния таких объектов:
- S 0(t) с вероятностью пребывания P 0(t), в котором система может использоваться по своему назначению,
- S 1(t) с вероятностью P 1(t) - система использоваться по своему назначению не может.
По определению К г = P 0 – вероятность застать систему в установившемся режиме в исправном состоянии, а К п = P 1 - вероятность застать систему в этом же режиме в неисправном состоянии. Граф переходов и зависимость состояния от времени такой системы показаны на рисунке 3.3 а и б (слева).
Дифференциальные уравнения для вероятностей состояний объекта можно составить по виду графа состояний, используя инженерное правило, сформулированное академиком А. Н. Колмогоровым [5]:
Производная по времени от вероятности P k(t) пребывания системы в любой момент времени t в состоянии k равна алгебраической сумме произведений интенсивностей переходов в k -ое состояние (или из k -го состояния) на вероятность того состояния, откуда совершается переход в k -е состояние. Причем, тем слагаемым, которым соответствуют уходящие стрелки из k -го состояния приписывается знак “минус”, а входящим - “плюс”.
Кроме того, используется нормировочное отношение
(3.33)
В итоге для нашего примера имеем
dP 0(t) / dt = - λ · P 0(t) + μ · P 1(t); (3.34)
dP 1(t) / dt = λ · P 0(t) - μ·P 1(t); (3.35)
P 0(t) + P 1(t) = 1. (3.36)
С учётом того, что в установившемся режиме P k не зависит от времени t и dP к(t) / dt = 0 выражения (3.34) и (3.36) примут вид
0 = - λ · P 0 + μ·P 1; (3.37)
P 0 + P 1 = 1. (3.38)
Из двух последних уравнений имеем
P 0 = (μ / λ)· P 1 = (μ. / λ)·(1- P 0) = (μ / λ) – (μ · P 0) / λ. (3.39)
Откуда
P 0 = (μ / λ) / (1 + μ / λ) = μ / (λ + μ) = К г; (3.40)
P 1 = 1- P 0 = λ / (μ + λ) = К п. (3.41)
Учтём, что интенсивности восстановления μ и интенсивности отказов λ определяются выражениями
μ = 1 / Т в , (3.42)
λ = 1/ Т, (3.43)
где Т в – среднее время восстановления, а Т - средняя наработка до отказа.
Тогда получим выражения для стационарных коэффициента готовности К г и для коэффициента простоя К п:
К г = Т / (Т + Т в), (3.44)
К п = Т в / (Т + Т в). (3.45)
Коэффициент оперативной готовности К ОГ(t) - это вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени t, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается, начиная с этого момента, будет работать безотказно в течение заданного интервала времени. При экспоненциальном законе вероятности безотказной работы
К ОГ(t) = К Г × ехр (- λ×t). (3.46)
Коэффициент готовности характеризует готовность объекта к применению по назначению только в отношении его работоспособности в произвольный момент времени. Коэффициент же оперативной готовности характеризует надёжность объекта, необходимость применения которого возникает в произвольный момент времени, после которого требуется безотказная работа в течение заданного интервала времени.
Нестационарный коэффициент готовности k Г(t), называемый также функцией готовности - это вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в заданный момент времени, отсчитываемый от начала работы (или от другого строго определённого момента времени). Иными словами, вероятность k Г(t) пребывания системы в состоянии готовности к функциональному применению называется функцией готовности [19, 21]:
(3.47)
При t → ∞
k Г(t) = К г. (3.48)
Средний коэффициент готовности - это усреднённое на данном интервале времени значение нестационарного коэффициента готовности [21].
Восстановительные работы могут состоять из работ по техническому обслуживанию (ТО) работоспособного, хотя и неисправного, изделия и ремонта отказавшего изделия. Пребывание изделия в этих состояниях учитывается и оценивается с помощью коэффициента технического использования - К ТИ. Коэффициент технического использования характеризует долю продолжительности нахождения объекта в работоспособном состоянии относительно общей продолжительности эксплуатации [3, 14].
Выведем выражение для коэффициента технического использования восстанавливаемых объектов. Граф переходов и зависимость состояния от времени такой системы показаны на рисунках 3.3 а и б (справа). Дифференциальные уравнения для вероятностей состояний объекта составим по виду графа состояний, используя инженерное правило А. Н. Колмогорова. Кроме того, запишем нормировочное отношение (3.29). В итоге получим:
dP 0(t) / dt = - P0 (t)×(λ + Ʋ ТО) + μ × Р 1(t) + μ ТО× Р 2(t); (3.49)
dP 1(t) / dt = λ · P 0(t) – μ × P 1(t); (3.50)
P 0(t) + P 1(t) + Р 2(t) = 1. (3.51)
Здесь: интенсивности восстановления μ и интенсивности отказов λ определяются выражениями (3.42) и (3.43); интенсивность μ ТО связана со средней продолжительностью ТО (Т ТО), а интенсивность Ʋ ТО - с периодом времени между предыдущим и последующим ТО (τ ТО) зависимостями
Т ТО = 1 / μ ТО, (3.52)
τ ТО = 1 / Ʋ ТО. (3.53)
При t → ∞ с учетом стационарности наблюдаемого случайного процесса имеем [3]:
К ТИ = Т / [ Т + Т В + Т ТО×(Т / τТО)]. (3.54)
Оптимальный период времени между предыдущим и последующим ТО, в котором минимизируется величина коэффициента простоя К П, находят по формуле [5]:
τ ТО ОПТ = (2× Т ТО× Т)0,5. (3.55)
Однако в литературе коэффициент технического использования К ТИ часто рассчитывают как отношение математического ожидания времени пребывания объекта в работоспособном состоянии за некоторый период эксплуатации к сумме математических ожиданий интервалов времени пребывания изделий в работоспособном состоянии и простоев, обусловленных техническим обслуживанием и ремонтом за тот же период:
К ТИ = Т / (Т + Т В + Т ТО), (3.56)
то есть принимают отношение (Т / τ ТО) в формуле (3.54) равным единице.
В процессе технического обслуживания также должно осуществляться полное или частичное обновление системы, что зафиксировано на графиках рисунков 3.3 б и в (справа) зависимостями Р (t) и λ (t). Однако в современных сложных РЭС отказ элемента или РЭУ не всегда ведет к отказу системы и с этой точки зрения является дефектом. В процессе эксплуатации возникает необходимость выявления дефектов и предотвращения отказов. Эффективность этого процесса можно характеризовать вероятностью отсутствия дефекта в произвольный момент времени при, нахождении РЭС в рабочем состоянии - коэффициентом отсутствия дефектов [3]:
(3.57)
где P К(t) - представляется суммарной вероятностью пребывания РЭС в подмножестве К состояний, включающем в себя все ситуации, когда в рабочем режиме отсутствуют дефекты.
Коэффициент сохранения эффективности - это отношение значения показателя эффективности использования объекта по назначению за определенную продолжительность эксплуатации к номинальному значению этого показателя, вычисленному при условии, что отказы объекта в течение того же периода не возникают. Коэффициент сохранения эффективности характеризует степень влияния отказов объекта на эффективность его применения по назначению. Для каждого конкретного типа объектов содержание понятия эффективности и точный смысл показателя (показателей) эффективности задаются техническим заданием и вводятся в нормативно-техническую и (или) конструкторскую (проектную) документацию [14].
Распределения Пуассона, Эрланга и временные зависимости показателей надёжности для законов распределения наработки на отказ, характерных для участка приработки и участка постепенных износовых отказов
