Составить систему уравнений Колмогорова для графа состояний резервированной системы, изображенного на рис. 6. (в соответствии с вариантом). В данном случае Go и G1 -- работоспособные состояния системы; G2 - неработоспособное состояние; Р; - вероятность нахождения системыв i-OM состоянии; "'-интенсивность отказа;!l - интенсивность восстановления. Рассчитать коэффициент готовностисистемы (Кг=Ро+Р,), решив полученную систему уравнений.
где п" п2 - соответственно после,дняя и предпоследняя цифра
учебного шифра (для О пl и п2 соответственно равны 1 О).
Нерезервированная восстанавливаемая система в произвольный момент времени находится в одном из дВух состояний: работоспособном (Go) или неработоспособном (Gj). Процесс ее функционирования можно отразить графом состояний (рис. 7):
л отказ
_01 восстановление Jl.
Рис. 7. Граф состояний нерезервированной системы
Из состояния!Gо в состояниеG1 система переходит в результате отказов с интенсивностью л., а из G1 в Go - в
результате восстановления с интенсивностью f.l. В дальнейшем будем считать, что потоки отказов и восстановлений являются простейшими: Л = coпst, Jl = coпst. Это значит, что производительность труда ремонтника постоянна ине зависит от времени. Поэтому время восстановления имеет экспоненциальный закон распределения F(t) = 1- e-J.lt;
Процесс функционирования резервированной восстанавливаемой системы является марковским случайным процес
сом с дискретными состояниями. Случайный процесс назы
I
вается дискретным, если его состояние можно пронумеро
вать и переход из состояния в состояние происходитскачком. Резер_ированная восстанавливаемая система описывается графом состояний (рис. 8).
"'12
Рис. 8. Граф состояний резервированной системы
в отличие o_ нерезервированной системы резервированная система в орщем случае имеет три состояния: Go - исправное, G1 - н_исправное, но работоспособное, G2 - неработоспособное.
Переход сис_емы из состояния в состояние происходит под воздействием потоков отказов и восстановлений. Если все потоки соб_IТИЙ, переводящие систему из состояния в
состояние, являются пуассоновскими, то случайный процессесть марковский процесс и задается системой дифференциальных уравнений.
Система 'составляется по следующим правилам. Про изводная вероятности состояния равна сумме стольких слагаемых, сколько сТрелок связано с этим состоянием. Каждоеслагаемое равно произведению интенсивности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Слагаемое имеет.знак минус, если стрелка исходит из данногосостояния, а знак плюс - если стрелка направлена в данноесостояние. Полученная система уравнений называется системой уравнений Колмагорова.
Например, для графа состояний, показанного на рис. 8, получим следующую систему дифференциальных уравнений.
dPo (t) = лло1Ро (t) - ло2Ро (t) + _IO_ (t) + _20P2 (t)
dt
d_(t) =ЛоJ)о(t)-_lо_(t)+лI2Р2(t)
dt.
dP2(t) = ло2Ро(t) + Л12_ (t) - _20P2(t)
dt
Система решается с помощью преобразований Лапласа или численными методами. При t -7 00 справедлива предельная теорема А.А. Маркова: если все интенсивности потоков событий постоянны, а граф состояний таков, чтоиз каждого состояния можно перейти в каждое другое законечное число шагов, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. В соответствии с этой теоремой при t -7 00 произ. dP; (t)
водная _ _ о и система дифференциальных уравнений
превращается в однородную систему линейных алгебраических уравнений
- л'ОIРо(t) - ЛО2Ро(t) + J.tIO_ (t) + J.t20P2 (t) = о
ЛОIРо(t) - J.t1O_ (t) + л'12Р2 (t) = О
I
ЛО2Ro(t) + л.12_ (t) - J.t 20 Р2 (t) = О
Система дополняется нормировочным уравнением
РО + Р1 + Р2 = 1.
