Зада ча 4

Составить систему уравнений Колмогорова для графа состояний резервированной системы, изображенного на рис. 6. (в соответствии с вариантом). В данном случае Go и G1 -- работоспособные состояния системы; G2 - неработос­пособное состояние; Р; - вероятность нахождения системыв i-OM состоянии; "'-интенсивность отказа;!l - интенсив­ность восстановления. Рассчитать коэффициент готовностисистемы (Кг=Ро+Р,), решив полученную систему уравне­ний.

 

где п" п2 - соответственно после,дняя и предпоследняя цифра

учебного шифра (для О пl и п2 соответственно равны 1 О).

 

 

 

Нерезервированная восстанавливаемая система в произ­вольный момент времени находится в одном из дВух состо­яний: работоспособном (Go) или неработоспособном (Gj). Процесс ее функционирования можно отразить графом со­стояний (рис. 7):

 

л отказ

 

_01 восстановление Jl.

 

Рис. 7. Граф состояний нерезервированной системы

 

 

Из состояния!Gо в состояниеG1 система переходит в ре­зультате отказов с интенсивностью л., а из G1 в Go - в

результате восстановления с интенсивностью f.l. В даль­нейшем будем считать, что потоки отказов и восстановле­ний являются простейшими: Л = coпst, Jl = coпst. Это зна­чит, что производительность труда ремонтника постоянна ине зависит от времени. Поэтому время восстановления име­ет экспоненциальный закон распределения F(t) = 1- e-J.lt;

Процесс функционирования резервированной восстанав­ливаемой системы является марковским случайным процес­

сом с дискретными состояниями. Случайный процесс назы­

I

вается дискретным, если его состояние можно пронумеро­

вать и переход из состояния в состояние происходитскачком. Резер_ированная восстанавливаемая система опи­сывается графом состояний (рис. 8).

 

"'12

 

Рис. 8. Граф состояний резервированной системы

 

в отличие o_ нерезервированной системы резервирован­ная система в орщем случае имеет три состояния: Go - ис­правное, G1 - н_исправное, но работоспособное, G2 - нера­ботоспособное.

Переход сис_емы из состояния в состояние происходит под воздействием потоков отказов и восстановлений. Если все потоки соб_IТИЙ, переводящие систему из состояния в

 

состояние, являются пуассоновскими, то случайный процессесть марковский процесс и задается системой дифференци­альных уравнений.

Система 'составляется по следующим правилам. Про из­водная вероятности состояния равна сумме стольких слага­емых, сколько сТрелок связано с этим состоянием. Каждоеслагаемое равно произведению интенсивности потока собы­тий, переводящего систему по данной стрелке, на вероят­ность того состояния, из которого исходит стрелка. Слага­емое имеет.знак минус, если стрелка исходит из данногосостояния, а знак плюс - если стрелка направлена в данноесостояние. Полученная система уравнений называется сис­темой уравнений Колмагорова.

Например, для графа состояний, показанного на рис. 8, получим следующую систему дифференциальных уравнений.

 

dPo (t) = лло1Ро (t) - ло2Ро (t) + _IO_ (t) + _20P2 (t)

dt

d_(t) =ЛоJ)о(t)-_lо_(t)+лI2Р2(t)

dt.

dP2(t) = ло2Ро(t) + Л12_ (t) - _20P2(t)

dt

Система решается с помощью преобразований Лапласа или численными методами. При t -7 00 справедлива пре­дельная теорема А.А. Маркова: если все интенсивности по­токов событий постоянны, а граф состояний таков, чтоиз каждого состояния можно перейти в каждое другое законечное число шагов, то предельные вероятности состоя­ний существуют и не зависят от начального состояния си­стемы. В соответствии с этой теоремой при t -7 00 произ­. dP; (t)

водная _ _ о и система дифференциальных уравнений

превращается в однородную систему линейных алгебраи­ческих уравнений

 

- л'ОIРо(t) - ЛО2Ро(t) + J.tIO_ (t) + J.t20P2 (t) = о

ЛОIРо(t) - J.t1O_ (t) + л'12Р2 (t) = О

I

ЛО2Ro(t) + л.12_ (t) - J.t 20 Р2 (t) = О

Система дополняется нормировочным уравнением

 

РО + Р1 + Р2 = 1.