Ненагруженное резервирование с восстановлением

Система, состоящая из равнонадежных элементов - одного основ­ного и k резервных, может находиться в лю­бом из (k+2) состояний:

0 - все элементы работоспособны;

1- один элемент в неработоспособном состоянии / восстанавливается;

j - когда j элементов в неработоспособном состоянии / восстанавливаются;

k +1 – когда все (k +1) эле­ментов в неработоспособном состоянии / восстанавливаются.

Предполагается, что при замене работающего эле­мента на резервный перерыва в работе системы не про­исходит, поэтому отказ системы наступает при одновре­менной неработоспособности основного и всех резервных элементов (состояние k +1).

Рассмотрим случай так называемого полностью ограниченного восстановления [5.2], когда имеется одна ремонтная бригада, обслуживающая систему и независимо от числа отказавших элементов одновременно может восстанавливаться только один (рис. 5.2, а).

Рис. 5.2. Схема состояний системы, состоящей из основного и k одинаковых элементов в ненагруженном резерве при ограниченном (а) и неограниченном (б) восстановлении

Предполагаем вариант резервирования с абсо­лютно надежными переключателями. В случае ненагруженного резерва (см. п. 4.2) резервные элементы до момента их включения вместо отказавших основных имеют интенсивность отказов λ = 0. Если число неработоспособных элементов оказывается больше одного, то существует очередь на ремонт.

Система дифференциальных уравнений имеет следую­щий вид:

(5.9)

При t →∞ система (5.9) переходит в систему алгебраи­ческих уравнений:

(5.10)

Система алгебраических уравнений (5.10) является зависимой и если попытаться ее решить как независимую систему, то будет получен тривиальный результат - P_j = 0 (j = 0, 1,…, k +1).

Для решения системы (5.10) необходимо добавить уравнение связи

, (5.11)

и из системы (5.10) исключить любое одно уравнение. Обычно исключают самое сложное.

В результате решения системы (5.10) совместно с уравнением (5.11) получим установившиеся значения коэффициентов простоя и готовности:

(5.12)

Если та же система, состоящая из k +1элементов, обслуживается (k +1) ремонтными бригадами (неогра­ниченное восстановление), то очередь на ремонт отсутст­вует. Схема состояний для ненагруженного резерва и не­ограниченного восстановления представлена на рис. 5-2, б.

В результате решения системы уравнений при Р'_j (t) =0 получим:

(5.13)