Правила применения метода дифференциальных уравнений

1. Перечисляются возможные состояния системы и составляется ее математическая (логическая) мо­дель в виде схемы состояний, на которой прямоугольни­ками или кружками изображаются возможные состоя­ния и стрелками - возможные направления переходов из одного состояния в другое на бесконечно малом отрезке времени (см. например, рис. 5.1). При этом надо иметь в виду, что на бесконечно малом отрезке времени возможен только либо один отказ, либо одно восстановление.

2. По схеме состояний со­ставляют систему дифференциальных уравнений для ве­роятностей состояний, которые формально записываются следующим образом:

· левые части уравнений содержат производные по времени вероятностей соответствующих состояний, а каждый член правой части уравнения получается пу­тем умножения интенсивности перехода, стоящей над стрелкой, связанной с данным состоянием, на соответст­вующую вероятность состояния;

· знак каждого произведения в правой части зависит от направления стрелки (плюс, если стрелка направлена острием к состоянию, и минус в про­тивном случае);

· число уравнений равно числу состояний; система дифференциальных уравнений должна быть дополнена нормировочным условием, состоящим в том, что сумма вероятностей всех состояний равна единице.

3. Решение системы дифференциальных уравнений с по­мощью преобразований Лапласа [5.1, 5.2, 5.3] или каким-либо дру­гим методом позволяет определить требуемые показа­тели надежности.

4. Если перерывы в работе системы допустимы, в каче­стве показателей надежности обычно используют функ­цию готовности K _Г(t)и функцию простоя K _П(t) или со­ответствующие коэффициенты (см. гл. 2). При этом часто рассматривают установившийся режим эксплуата­ции при t → ∞. Тогда P'_j (t) = 0и система дифференци­альных уравнений переходит в систему алгебраических уравнений.

5. Когда перерывы в работе системы недопустимы, в ка­честве показателей надежности используются (t) - условные вероятности безотказной непрерывной работы в течение заданного времени выполнения задачи при усло­вии, что в начальный момент времени все элементы си­стемы работоспособны. В рассматриваемом случае име­ются «поглощающие» состояния и необходимо решить полную систему дифференциальных уравнений при со­ответствующих начальных условиях.