Введем отношение 
, представляющее долю или частоту отказавших к моменту t элементов от общего их числа N. Эта доля равна 0 при t =0 (ибо в работу включают только исправные элементы) и равна 1 при t=tm, т.е. к моменту окончания эксперимента или отказу всех N испытуемых элементов. Так как эта доля зависит от времени t, то обозначим ее через
и назовем статистической функцией распределения отказов.
Устремим число испытуемых элементов к бесконечности: 
. Тогда при статистическое распределение отказов сходится равномерно по вероятности к закону распределения вероятностей отказов элемента
=Вер{того, что Т<t}.
Интегральный закон распределения вероятностей отказов элемента до некоторого момента времени t: Q(t)=Вер{Т<t} называют функцией ненадежности элемента или функцией риска эксплуатации элемента (рис. 2.19).
При t=0 имеем: Т < 0 – невозможное случайное событие (ибо в работу включаются только исправные элементы) и поэтому Q(0)=0.
При 
имеем: Т < ¥ - достоверное событие, заключающееся в отказе всех материальных элементов за бесконечно большое время эксплуатации ("нет ничего вечного в этом мире"!), следовательно: Q(+¥)=1.
Функция ненадежности в общем случае неубывающая непрерывная функция времени t, 
(рис. 2.19)
Рис. 2.19 – Функция ненадежности элемента
Статистическая функция ненадежности 
является кусочно-постоянной неубывающей функцией времени, показанной пунктиром на рис. 2.19. Отметим еще раз, что Q(t) – неслучайная, а - случайная функция. В реальных условиях функция Q(t) нам не известна и мы всегда работаем с ее оценкой .
Функция ненадежности Q(t) наиболее полно описывает поведение случайной величины Т. Она позволяет, в частности, определять все другие (рассматриваются ниже) функциональные и числовые показатели надежности, а также дает ответ на практически важные вопросы:
какие элементы с разными функциями риска менее надежны;
сколько элементов N0 из N работающих откажут к данному моменту времени t0 (
);
сколько элементов 
откажет на отрезке времени 
(для этого 
).
Функция надежности элемента
Вернемся снова к экспериментальным данным N, N(t), N-N(t), tm и введем долю или частоту не отказавших к моменту времени t элементов 
. Эта доля
равна 1 при t=0 (в работу включили только исправные элементы!) и нулю при t=+¥ (все материальное разрушается). Зависимость 
, назовем статистической функцией надежности, она, как уже показано, изменяется от 1 до 0.
При N®¥ функция 
сходится по вероятности к интегральному закону распределения вероятностей безотказной работы или функции надежности P(t)
=Вер{того, что Т>t}=Вер{Т>t}.
Функция надежности 
= Вер{Т>t} равна 1 при t=0 и 0 при t=¥. (рис 2.20). Эта функция невозрастающая и непрерывная. Статистическая зависимость является кусочно-постоянной функцией (показана пунктиром на рис. 2.20):
Рис. 2.20 – Функция надежности элемента
Согласно определению каждый элемент может находиться в одном из двух состояний: работоспособности и отказа. Эти случайные независимые несовместные события образуют полную группу событий и тогда 
.
Рис. 2.20 а – К понятию полной группы случайных событий
Плотность вероятности отказа f(t)
При решении многих задач надежности оказывается удобным применять не интегральные распределения P(t), Q(t), а дифференциальный закон распределения вероятности отказа 
Эту зависимость часто называют плотностью вероятностей отказа. Функция f(t) определена на отрезке времени [0, +¥] и всегда положительна. Кроме того, по определению
По сравнению с P(t) и Q(t), функция плотности не содержит новой информации. Если известна f(t), то нетрудно найти
, 
Функция плотности f(t) показана на рис. 2.21 штрихпунктирной линией.
Рис. 2.21 – Функции плотности вероятности отказа 
и интенсивности отказа 
(лямбда-характеристика)
Статистическая плотность распределения 
находится по экспериментальным данным
,
где t – середина малого интервала времени 
, на котором имело место 
отказов элементов. При N®¥ и 
функция распределения сходится в вероятности к f(t). Отметим, что f(t) имеет физическую размерность 
.
Интенсивность отказов
Для описания поведения случайной величины Т часто используют функцию интенсивности отказов
представляющую условную плотность вероятности отказа элемента в момент t при условии, что до этого времени элемент не отказал. (рис. 2.21).
Функцию интенсивности отказов обычно называют лямбда-характеристикой.
Статистическая лямбда-характеристика 
определяется по результатам испытания N одинаковых элементов на надежность:
При N®¥ и статистическая функция 
.
Из формул для вычисления оценок 
и 
следует, что 
для всех t, 
; при t=0 функции 
, ибо N(0)=N.
Рассмотренная особенность верна и для неслучайных функций l(t) и f(t) (см. рис. 2.21): 
, 
, 
.
Кроме того, 
всегда положительная функция, имеющая особенности в виде разрывов второго рода: при N(t)®0 функция 
.
Функция интенсивности l(t) имеет физическую размерность . Если время t измеряется числом включений дискретного элемента (реле) или числом циклов элемента с периодическим режимом функционирования, то и l(t) имеет соответствующую размерность: 
, 
.
Знание функции интенсивности позволяет находить любые другие характеристики надежности. Определим по l(t) функцию надежности P(t):
Возьмем интегралы от левой и правой частей последнего равенства
В правой части под знаком интеграла находится так называемая логарифмическая производная, поэтому 
. Выражение 
после потенцирования принимает вид:
Далее находим 
и 
.
Взаимосвязи между показателями надежности приведены в табл. 1.
| Известная функция | Другие функциональные показатели надежности | ||
| P(t)=1-Q(t) | f(t)= 
| λ(t)= 
|
| Q(t)=1-P(t) | f(t)= - 
| λ(t)= 
|
| Q(t)= 
| P(t)= 
| λ(t)= 
|
| Q(t)= 
| P(t)= 
| 
|
Таблица 1
