Последовательность обработки результатов измерений. Последовательность обработки результатов измерений рассмотрим на примере: требуется оценить результаты многократных равноточных измерений (см

Последовательность обработки результатов измерений рассмотрим на примере: требуется оценить результаты многократных равноточных измерений (см. выборочные данные в табл. 2.1) толщины стенки главной балки (образец: полоса из стального проката), выполненного штангенциркулем по ГОСТ 166-89 с величиной отсчета по нониусу 0,1 мм. Точность толщины проката определяется симметричным полем допуска 0,65 мм.

Таблица 2.1

	Результаты измерений, мм
	12.2	12.3	12.0	11.7	13.5	12.9	12.7	15.2	11.0	12.4
11.1	11.5	12.1	12.2	10.5	12.4	12.4	12.2	12.3	12.0

 

Решение:

Исправление результатов наблюдений исключением (если это возможно) систематической погрешности.

Поскольку постоянные неисключенные составляющие систематической погрешности, возникающие из-за погрешности средства измерения (СИ), не могут быть определены, то в качестве интервальной оценки принимаем предел допустимой погрешности средства измерения.

Определяем предельную погрешность измерения по условию:

= 0,260 мм, (2.1)

здесь: – коэффициент, зависящий от цели измерений и характера объекта, принимается, согласно п. 5.3, ГОСТ 26433.0-85 (2003) [6], равным 0,2 при измерениях, выполняемых в процессе и при контроле точности изготовления и установки элементов, а также при контроле точности разбивочных работ; при измерениях, выполняемых в процессе производства разбивочных работ – = 0,4; - допуск измеряемого геометрического параметра, установленный нормативно-технической документацией на объект измерения.

Вычисляем среднее арифметическое значение по формуле:

= 12,230 мм, (2.2)

где: = 20 – число измерений.

Выполняем оценку рассеяния отдельных результатов измерения относительно среднего , определяем опытное среднее квадратическое отклонение по формуле:

= 0,971 мм, (2.3)

где: – число многократных измерений в одном характерном сечении или месте, в случаях, когда требуется повышенная точность измерений; эти места указываются в нормативно-технической, проектной или технологической документации на объект измерения – п. 6.4 ГОСТ 26433.0-85 (2003) [6] – в нашем случае = 1.

Исключаем промахи. Для оценки промахов (учитывая число измерений =20, т.е. 20, …, 50) будем использовать критерий . В этом случае считается, что результат, возникающий с вероятностью , малореален и его можно квалифицировать промахом, то есть сомнительный результат отбрасывается, если:

. (2.4)

Результаты вычислений значений для левой части неравенства сведены в табл. 2.2, а выборочные данные, удовлетворяющие критерию – в табл. 2.3.

Таблица 2.2

Результаты вычислений значений , мм
0.030	0.070	0.230	0.530	1.270	0.670	0.470	2.970	1.230	0.170
1.130	0.730	0.130	0.030	1.730	0.170	0.170	0.030	0.070	0.230

 

Таблица 2.3

	Результаты измерений, мм
	12.2	12.3	12.0	11.7	13.5	12.9	12.7	_____	11.0	12.4
11.1	11.5	12.1	12.2	10.5	12.4	12.4	12.2	12.3	12.0

Для скорректированной выборки (табл. 2.3) находим среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение (примечание: исключено значение измерений 15,2 мм, как промах):

= 12,074 мм, (2.5)

= 0,693 мм. (2.6)

Оценка точности измерений (ошибка самого среднего квадратического отклонения) характеризуется условием:

0,112 < 0,173, (2.7)

где: = 19 – объем скорректированной выборки.

В случае если объем выборки < 20, целесообразно применять критерий Романовского. При этом вычисляют отношение:

(2.8)

и полученное значение сравнивают с теоретическим – при выбираемом уровне значимости по табл. 2.4. Обычно выбирают = 0,01…0,05, и если , то результат отбрасывают.

Таблица 2.4

Критерий

Вероятность	Число измерений,
0,01	1,73	2,16	2,43	2,62	2,75	2,90	3,08
0,02	1,72	2,13	2,37	2,54	2,66	2,80	2,96
0,05	1,71	2,10	2,27	2,41	2,52	2,64	2,78
0,10	1,69	2,00	2,17	2,29	2,39	2,49	2,62

 

Если число измерений невелико (до 10), то можно использовать критерий Шовине. В этом случае промахом считается результат , если разность превышает значения , приведенные ниже в зависимости от числа измерений:

. (2.9)

Определяем закон распределения случайной величины.

Часто для предварительной оценки закона распределения параметра используют относительную величину среднего квадратического отклонения – коэффициент вариации:

0,057. (2.10)

Например, при 0,33…0,35 можно считать, что распределение случайной величины подчиняется нормальному закону.

Учитывая, что при оценке геометрических параметров в строительстве часто используют нормальный закон распределения случайной величины, для нашего примера значение коэффициента вариации не является достаточно информативным. В таком случае следует выполнить оценку закона распределения обстоятельно.

Отображаем выборочные данные в виде вариационного ряда (см. табл. 2.5).

Таблица 2.5

	, мм		, мм		, мм		, мм
	10.5		12.0		12.2		12.4
	11.0		12.0		12.3		12.7
	11.1		12.1		12.3		12.9
	11.5		12.2		12.4		13.5
	11.7		12.2		12.4

 

Вариационный ряд разбиваем на некоторое число интервалов (число интервалов в большинстве случаев принимают в пределах 8…12, однако их может быть и больше). Ориентировочную величину интервала можно определить по формуле:

мм, (2.11)

где: и – соответственно максимальное и минимальное значение скорректированной выборки; – объем скорректированной выборки.

Таким образом, достаточно разбить рассматриваемую выборку на пять интервалов:

10,5…11,1; 11,1…11,7; 11,7…12,3; 12,3…12,9; 12,9…13,5

Подсчитываем число значений выборки , попадающих в каждый -тый интервал, и определяем частоты, соответствующие каждому интервалу:

. (2.12)

Если при группировке значений выборки по интервалам имеются значения, находящиеся точно на границе двух интервалов, то их считают принадлежащим обоим интервалам и прибавляют к числу значений смежных интервалов по 1/2.

Результаты группировки значений выборки по интервалам и определения частот, соответствующих каждому интервалу, сведены в табл. 2.6.

Таблица 2.6

Интервал, мм	, мм
10,5…11,1	0,6	2,5		0,132	0,220
11,1…11,7	0,6			0,105	0,175
11,7…12,3	0,6	7,5		0,395	0,658
12,3…12,9	0,6	5,5		0,290	0,483
12,9…13,5	0,6	1,5		0,079	0,132

 

Полученный статистический ряд оформляем графически в виде гистограммы (рис. 2.1). Для этого по оси абсцисс откладывают интервалы и на каждом из них, как на основании, строят прямоугольник, площадь которого равна частоте данного интервала (). Высоту прямоугольника получают, разделив его площадь на длину интервала (). Полученная высота представляет собой статистическую плотность распределения:

. (2.13)

Сравнивая внешний вид гистограммы с формой теоретических кривых плотности распределения, можно высказать гипотезу о соответствии статистического распределения тому или иному теоретическому.

Построим несколько теоретических кривых плотности распределения (см. рис. 2.1): по нормальному закону , по закону Вейбулла , по закону Гумбеля . Формулы для вычисления плотности распределения этих законов имеют вид:

, (2.14)

, (2.15)

, , , , (2.16)

где: и – соответственно параметр формы и параметр масштаба для функции плотности распределения по закону Вейбулла [8]; и – параметры для функции плотности распределения по закону Гумбеля.

Параметры и связаны с математическим ожиданием и дисперсией следующим образом:

. (2.17)

Рис. 2.1. Гистограмма статистической плотности распределения и теоретические кривые плотности распределения

Применительно к нашему примеру, по формулам (2.14)…(2.17) получены следующие теоретические функции плотности распределения случайной величины :

, (2.18)

, (2.19)

. (2.20)

Степень соответствия между выбранной теоретической кривой (гипотезой) и статистическим распределением устанавливается с помощью критериев согласия. Наиболее употребляемыми критериями согласия являются: критерий Колмогорова, критерий (хи-квадрат), критерий Пирсона и критерий (омега-квадрат) Мизеса [5, 8]. Если ставится задача по результатам эксперимента проверить согласованность теоретического и опытного распределения, то рекомендуется использовать критерий Колмогорова.

Критерий согласия Колмогорова отличается свой простотой. Вычислив по экспериментальным данным величину:

, (2.21)

где: , по графику (см. рис. 2.2) определяют вероятность . Если > 0,3…0,4, то аппроксимирующую функцию считают согласующуюся с экспериментальными данными; если < 0,1…0,05, то гипотезу отвергают.

Рис. 2.2. График функции критерия согласия Колмогорова

Полученные результаты (см. табл. 2.7, 2.8), свидетельствуют о возможности применения для описания выборочных данных: нормального закона и закона Вейбулла.

Окончательно с вероятностью 0,67 будем полагать, что неизвестное распределение мало отличается от функции нормального закона распределения , которое можно использовать в дальнейшем практическом расчете.

Таблица 2.7

Интервал, мм
10,5…11,1	0,220	0,106	0,025	0,029
11,1…11,7	0,175	0,359	0,259	0,512
11,7…12,3	0,658	0,572	0,463	0,626
12,3…12,9	0,483	0,432	0,410	0,317
12,9…13,5	0,132	0,154	0,274	0,121

 

Продолжение таблицы 2.7

Интервал, мм
10,5…11,1	0,114	0,195	0,191
11,1…11,7	0,184	0,084	0,337
11,7…12,3	0,086	0,195	0,032
12,3…12,9	0,051	0,073	0,166
12,9…13,5	0,022	0,142	0,011

 

Таблица 2.8

Закон распределения случайной величины
Нормальный	0,184	0,67
Вейбулла	0,195	0,48
Гумбеля	0,337	0,08

 

При заданном значении доверительной вероятности и числе измерений определяем коэффициент Стьюдента (см. приложение 1). Учитывая, что система допусков построена на понятии предельной погрешности при = 0,95 (ГОСТ 8.051-81 [7]), значение доверительной вероятности принимаем = 0,95 (примечание: например, при значение = 0,68; при значение = 0,99). Тогда при числе «степеней свободы» = 18 и = 0,95 коэффициент Стьюдента = 2,101.

Примечание: Если закон распределения параметра и погрешности неизвестен и нет оснований утверждать, что от близок к нормальному, но известно среднее квадратическое отклонение погрешности измерения, то коэффициентами Стьюдента пользоваться нельзя. В этом случае доверительные интервалы строят на основе неравенства Чебышева:

, (2.22)

полагая симметричность фактического закона распределения.

Находим границы доверительного интервала для случайной составляющей:

0,343 мм, (2.23)

где: – число «степеней свободы» (для выборок с числом значений 50 принимают ; для малых выборок при 50 принимают ).

Если закон распределения параметра отличный от нормального, тогда, используя неравенство (2.22), границы доверительного интервала для случайной составляющей можно определить по формуле:

, (2.24)

где: - коэффициент Чебышева (см. табл. 2.9).

Таблица 2.9

	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95
	1,4	1,6	1,8	2,2	3,2	4,4

 

Если величина сравнима с абсолютным значением погрешности средства измерения, то величину считают неисключенной систематической составляющей и в качестве доверительного интервала вычисляют величину:

. (2.25)

В нашем случае значение = 0,343 сравнимо со значением = 0,260, следовательно:

0,383 мм. (2.26)

Окончательный результат: мм.

4. Контрольные вопросы:

1. Что означают термины: «точность измерений» и «погрешность измерений»?

2. Что такое «прямые измерения» физической величины, какие различают методы прямых измерений?

3. Чем обусловлена методическая составляющая погрешности?

4. Чем обусловлена инструментальная составляющая погрешности?

5. От чего зависит достоверность измерений?

 

5. Задание для самостоятельной работы.

Выполнить многократные равноточные измерения контрольного образца (по индивидуальному заданию) и оценить полученные результаты.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3