Нормальному распределению

Чтобы установить, что результаты измерений принадлежат (или не принадлежат) тому или иному распределению, необходимо сравнить экспериментальную функцию распределения с предполагаемой теоретической. Сравнение осуществляется с помощью критериев согласия.

В случае проверки принадлежности результатов измерений к нормальному распределению при числе результатов n > 50 предпочтительным является один из критериев: Пирсона χ² или Мизеса – Смирнова ω². В работе используется критерий Пирсона.

При числе результатов измерений 15 < n < 50 производят приближенную проверку их принадлежности к нормальному распределению путем оценки коэффициента асимметрии и эксцесса.

При n < 15 гипотеза о принадлежности результатов измерений к какому-либо распределению не проверяется. Если при этом имеется априорная информация о том, что нет причин, которые могли бы вызвать заметное отклонение распределения результатов от нормального закона, для обработки результатов измерений используется распределение Стьюдента.

Для проверки принадлежности результатов измерений к нормальному распределению с помощью критерия согласия Пирсона необходимо сначала построить гистограмму.

Построение гистограммы включает в себя следующие этапы.

1. Исправленные результаты измерений располагаются в порядке возрастания: x ₁, x ₂,..., x_n, где x_i < x_i +1.

2. Вычисляется диапазон изменения значений результатов измерений:

R_n = x_n – x ₁.

3. Этот диапазон разбивается на r одинаковых интервалов (оценить необходимое количество интервалов можно по правилу: r =1+3,32 lg n с последующим округлением в большую сторону до ближайшего целого нечетного числа). Обычно r лежит в диапазоне от 7 до 15.

4. Определяется ширина интервала:

5. Определяются границы интервалов [ x_{j -1}, x_j ] так, чтобы верхняя граница j -го интервала x_{J в} = j ·Δ, а его нижняя граница совпадала с верхней границей (j – 1)-го интервала: x_{j н} = x _{( j -1)н}.

6. Для каждого j -го интервала (j = 1, 2,..., r) вычисляются числа n_j – частость попадания результата измерений в интервал.

7. Строится гистограмма. Для этого по оси результатов измерений в порядке возрастания номеров откладываются интервалы Δ _j, и на каждом интервале строится прямоугольник, высота которого пропорциональна n_j.

По результатам анализа гистограммы высказывается гипотеза о виде закона распределения экспериментальных данных и о численных характеристиках этого закона (для нормального распределения такими характеристиками являются математическое ожидание и дисперсия). После этого используют критерий согласия для проверки гипотезы.

Критерий согласия Пирсона χ² характеризует меру отклонения результатов измерений от теоретически предсказанных и рассчитывается по формуле:

(3.4)

где n_j – частость попадания результатов измерений в j -й интервал; P_j – теоретические значения вероятности попадания результатов в j -й интервал, которые вычисляются по формуле:

P_j = Ф(z_{j в}) – Ф(z _{(j -1)в}), (3.5)

где Ф(z) – функция Лапласа; Р ₁ = Ф(z _1в).

Таблица значений функции Лапласа для некоторых z приведена в [1].

После вычисления значения χ² для заданного уровня значимости ∝ и числа степеней свободы 𝜈 = r – k – 1 (где r – количество разрядов разбиения; k – число параметров, необходимых для определения теоретической функции распределения, причем для нормального распределения k = 2), по таблицам χ² – распределения находят критическое значение критерия согласия χ²_кр. В технической практике обычно задаются уровнем значимости α = 0,05. Значения χ²_кр для этого уровня значимости приведены в [1].

Если χ² < χ²_кр принимают гипотезу о том, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению, характеризующемуся математическим ожиданием и дисперсией, оценки которых дают формулы (3.1) и (3.2). В противном случае (χ² ≥ χ²_кр) гипотеза отвергается.