Совместные измерения

 

Совместными называются проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для нахождения зависимости между ними

. (3.38)

Наиболее часто на практике определяют зависимость Y от одного аргумента x

(3.39)

При этом совместно измеряют n значений аргумента x_i, i = 1, 2,..., n и соответствующие значения величины Y_i и по полученным данным определяют функциональную зависимость (3.39). Этот случай мы и будем рассматривать в дальнейшем. Применяемые при этом методы прямо переносятся на зависимость от нескольких аргументов.

В метрологии совместные измерения двух аргументов применяются при градуировке СИТ, в результате которой определятся градуировочная зависимость, приводимая в паспорте СИТ в виде таблицы, графика или аналитического выражения. Предпочтительнее всего задавать ее в аналитическом виде, поскольку такая форма представления наиболее компактна и удобна для решения широкого круга практических задач.

Примером совместных измерений может служить задача определения температурной зависимости сопротивления терморезистора

 

R(t) = R ₂₀+ a(t -20) + b(t -20)²,

где R₂₀ – сопротивление терморезистора при 20 ^оС;

a, b – температурные коэффициенты сопротивления.

Для определения R₂₀, a или b производится измерение R(t) в n температурных точках (n >3) и по этим результатам определяется искомая зависимость.

При определении зависимости в аналитическом виде следует придерживаться следующего порядка действий.

1. Построить график искомой зависимости Y=f(x).

2. Задать предполагаемый функциональный вид зависимости

 

Y=f(x, A₀, A₁, … A_m), (3.40)

 

где A_j – неизвестные параметры зависимости.

Вид зависимости может быть известен либо из физических закономерностей, описывающих явление, положенное в основу работы СИТ, либо на основе предыдущего опыта и предварительного анализа данных (анализ графика искомой зависимости).

3. Выбрать метод определения параметров этой зависимости. При этом необходимо учитывать выбранный вид зависимости и априорные сведения о погрешности измерения x_i и Y_i.

4. Вычислить оценки параметров A _j зависимости выбранного вида.

5. Оценить степень отклонения экспериментальной зависимости от аналитической, для проверки правильности выбора вида зависимости.

6. Определить погрешности нахождения , используя известные характеристики случайных и систематических погрешностей измерения x и Y.

В современной математике разработаны многочисленные методы решения таких задач. Наиболее распространенными из них является метод наименьших квадратов (МНК). Этот метод разработал Карл Фридрих Гаусс еще в 1794 г. для оценки параметров орбит небесных тел и до сих пор он с успехом используется при обработке экспериментальных данных.

В МНК оценки параметров искомой зависимости определяют из условия, что сумма квадратов отклонений экспериментальных значений Y от расчетных значений минимальна, т.е.

, (3.41)

где - невязки.

При рассмотрении МНК ограничимся случаем, когда искомая функция – полином, т.е.

. (3.42)

Задача заключается в том, чтобы определить такие значения коэффициентов , при которых выполнялось бы условие (3.41).

Для этого запишем выражение для невязок в каждой экспериментальной точке

(3.43)

Число точек n выбирают значительно больше, чем m+1.

Это, как будет показано ниже, необходимо для уменьшения погрешности определения .

Согласно принципу наименьших квадратов (3.41), наилучшими значениями коэффициентов будут те, для которых сумма квадратов невязок

(3.44)

будет минимальна. Минимум функции многих переменных , как известно, достигается тогда, когда все ее частные производные равняются нулю. Поэтому дифференцируя (3.44), получаем

 

. (3.45)

Следовательно, вместо исходной условной системы (3.42), которая вообще говоря есть система несовместная, так как имеет n уравнений с m+1 неизвестными (n > m+1), мы получим систему линейных относительно уравнений (3.45). В ней число уравнений при любом n точно равно числу неизвестных m+1. Система (3.45) называется нормальной системой.

Таким образом, поставленная задача заключается в приведении условной системы к нормальной.

Воспользовавшись обозначениями, введенными Гауссом

, ,

и после сокращения всех уравнений на 2 и перегруппировки членов, получим

. (3.46)

Анализируя выражение (3.42) и (3.46) видим, что для получения первого уравнения нормальной системы достаточно просуммировать все уравнения системы (3.42). Для получения второго уравнения нормальной системы (3.42), суммируются все уравнения, предварительно умноженные на x_i. То есть, для получения k-го уравнения нормальной системы необходимо умножить уравнения системы (3.42) на и просуммировать полученные выражения.

Наиболее кратко решение системы (3.45) описывается с помощью определителей

; ; … ,

где главный определитель D равен

, (3.47)

а определители D_J получаются из главного определителя D путем замены столбца с коэффициентами при неизвестном А_J на столбец со свободными членами

. (3.48)

Оценка СКО величин , найденных как результат совместных измерений, выражается следующей формулой

(3.49)

где - алгебраическое дополнение элементов главного определителя D, получаемое путем удаления из матриц определителя столбца (j+1) и строки (j+1);

, (3.50)

где - вычисляются при подстановке в каждое условное уравнение оценок искомых величин .

Доверительный интервал погрешности определения вычисляют по формуле

, (3.51)

где определяется из распределения Стьюдента по числу степеней свободы (n-m-1) и выбранной доверительной вероятности Р_Д.

При увеличении числа m объем выполненной работы быстро растет и поэтому на практике обычно ограничивается полиномом не выше третьей степени.

МНК и его применению посвящена обширная литература. В ней теоретически показано, что при нормальном распределении погрешностей МНК приводит к оценкам неизвестных, удовлетворяющих принципу максимального правдоподобия.