РИТА А)Геометрические прогрессии

Последовательность , первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q, называется геометрической прогрессией. Число q - знаменатель прогрессии.

Называется n-ым членом последовательности

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

Определение геометрической прогрессии	bn+1 =bn · q, где bn ≠ 0, q ≠ 0
Знаменатель геометрической прогрессии
Формула n-го члена геометрической прогрессии	bn = b1 · q n-1
Сумма n первых членов геометрической прогрессии

 

Отношение любого члена геометрической прогрессии и ему предшествующего члена, равно одному и тому же числу q:

• Если , то - монотонна
• Если , то - постоянна

 

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

то есть каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

 

(РИТА К) Свойства:

1) Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

2) (Характеристическое свойство геометрической прогрессии). Квадрат n -го члена геометрической прогрессии равен произведению равноудаленных от него членов:

В частном случае, для трех последовательных членов геометрической прогрессии

3) Числа a, b, c (не обязательно в указанной очередности) образуют геометрическую прогрессию, если и только если удовлетворяют равенству

(a 2 - bc)(b 2 - ac)(c 2 - ab) = 0,

а числа a, b, c (в указанной очередности) образуют геометрическую прогрессию, если и только если

b 2 = ac.

4) Сумма S всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (| q | < 1) определяется по формуле

Доказательство:

· произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

.

· Произведение членов геометрической прогрессии, начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:

· Сумма первых членов геометрической прогрессии:

· Если , то при , и

при .

(ОЛЯ)Примеры:

ü Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата^,

ü 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.

ü 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем - .

 

 

1) Дана геометрическая прогрессия b₁, b₂, b₃,..., b_n,....

Известно, что b₁ = , q = - 3. Найти b₆

Решение. В этом случае в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии.

Подставив в эту формулу n = 6 получим:

b₆ = b₁ · q⁵ = · (-3)⁵ = -162

Ответ -162.

 

2) Произведение первых трех членов геометрической прогрессии равно 1728, а их сумма равна 63. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.

Решение. Пусть b 1, b 2 и b 3- первые три члена данной прогрессии. Тогда из условия b 1 b 2 b 3 = 1728 следует и b 2 = 12. Следовательно,

Решения данной системы (см. обратную теорему Виета) является также корнями квадратного уравнения

z 2 - 51 z + 144 = 0.

Решая квадратное уравнение, получим = 3 и = 48, то есть, b 1 = 3, b 3 = 48 или b 1 = 48, b 3 = 3. Поскольку b 1 = 3, b 2 = 12 или b 1 = 48 и b 2 = 12, получим q = 4 или q = 1/4. Таким образом, решениями задачи будут = 3 и q = 4 или = 48 и q = 1/4.

 

 

(НАСТЯ)Задачи

1) Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

 

Решение: Составим математическую модель задачи: 1400, 1300, …, 1400-100(n-1). a₁=1400; d=-100, S_n=5000.

 

Н! n. S_n= (2a₁+ d (n-1))n:2;

 

5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2;

10000= (2800-100 n+100) n;

10000= (2900-100 n) n;

100 n²-2900 n+10000=0;

n²-29 n+100=0; n=25, n=4

 

По условию задачи удовлетворяет n=4 (при n=25 а_n=-1000, но а_n>0) Значит, альпинисты покорили высоту за 4 дня.

 

Ответ: за 4 дня.

(я)

2) Продавец киоска обратил внимание на то, что каждый год в последние 7 дней перед 8 марта количество продаваемых в день поздравительных открыток увеличивается в одно и тоже число раз по сравнению по сравнению с предыдущим днем. Начав торговлю открытками за 7 дней перед праздником, он подсчитал, что в третий день было продано 48 открыток, а в пятый день – 192 открытки. Сколько всего открыток будет продано за 7 дней торговли, если замеченная продавцом закономерность сохранится?