Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


–»“ј ј)√еометрические прогрессии




ѕоследовательность , первый член которой отличен от нул€ и каждый член, начина€ со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нул€ число q, называетс€ геометрической прогрессией. „исло q - знаменатель прогрессии.

Ќазываетс€ n-ым членом последовательности

‘ормула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид

—умма бесконечной геометрической прогрессии:

ќпределение геометрической прогрессии bn+1 =bn Ј q, где bn ≠ 0, q ≠ 0
«наменатель геометрической прогрессии
‘ормула n-го члена геометрической прогрессии bn = b1 Ј q n-1
—умма n первых членов геометрической прогрессии
   

 

ќтношение любого члена геометрической прогрессии и ему предшествующего члена, равно одному и тому же числу q:

  • ≈сли , то - монотонна
  • ≈сли , то - посто€нна

 

—воЄ название прогресси€ получила по своему характеристическому свойству:

то есть каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

 

(–»“ј  ) —войства:

1) Ћогарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

2) (’арактеристическое свойство геометрической прогрессии).  вадрат n -го члена геометрической прогрессии равен произведению равноудаленных от него членов:

 

¬ частном случае, дл€ трех последовательных членов геометрической прогрессии

 

3) „исла a, b, c (не об€зательно в указанной очередности) образуют геометрическую прогрессию, если и только если удовлетвор€ют равенству

(a 2 - bc)(b 2 - ac)(c 2 - ab) = 0,

а числа a, b, c (в указанной очередности) образуют геометрическую прогрессию, если и только если

b 2 = ac.

4) —умма S всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (| q | < 1) определ€етс€ по формуле

 

ƒоказательство:

Ј произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

.

Ј ѕроизведение членов геометрической прогрессии, начина€ с k-ого члена, и заканчива€ n-ым членом, можно рассчитать по формуле:

Ј —умма первых членов геометрической прогрессии:

Ј ≈сли , то при , и

при .

(ќЋя)ѕримеры:

ü ѕоследовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получаетс€ соединением середин сторон предыдущего Ч бесконечна€ геометрическа€ прогресси€ со знаменателем 1/2. ѕлощади получающихс€ на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата,

ü 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 Ч прогресси€ со знаменателем 2 из тринадцати членов.

ü 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; Е Ч бесконечно убывающа€ прогресси€ со знаменателем - .

 

 

1) ƒана геометрическа€ прогресси€ b1, b2, b3,..., bn,....

»звестно, что b1 = , q = - 3. Ќайти b6

–ешение. ¬ этом случае в основе решени€ лежит формула n-го члена геометрической прогрессии.

ѕодставив в эту формулу n = 6 получим:

b6 = b1 Ј q5 = Ј (-3)5 = -162

ќтвет -162.

 

2) ѕроизведение первых трех членов геометрической прогрессии равно 1728, а их сумма равна 63. Ќайти первый член и знаменатель этой прогрессии.

–ешение. ѕусть b 1, b 2 и b 3- первые три члена данной прогрессии. “огда из услови€ b 1 b 2 b 3 = 1728 следует и b 2 = 12. —ледовательно,

–ешени€ данной системы (см. обратную теорему ¬иета) €вл€етс€ также корн€ми квадратного уравнени€

z 2 - 51 z + 144 = 0.

–еша€ квадратное уравнение, получим = 3 и = 48, то есть, b 1 = 3, b 3 = 48 или b 1 = 48, b 3 = 3. ѕоскольку b 1 = 3, b 2 = 12 или b 1 = 48 и b 2 = 12, получим q = 4 или q = 1/4. “аким образом, решени€ми задачи будут = 3 и q = 4 или = 48 и q = 1/4.

 

 

(Ќј—“я)«адачи

1) јльпинисты в первый день восхождени€ подн€лись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. «а сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

 

–ешение: —оставим математическую модель задачи: 1400, 1300, Е, 1400-100(n-1). a1=1400; d=-100, Sn=5000.

 

Ќ! n. Sn= (2a1+ d (n-1))n:2;

 

5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2;

10000= (2800-100 n+100) n;

10000= (2900-100 n) n;

100 n2-2900 n+10000=0;

n2-29 n+100=0; n=25, n=4

 

ѕо условию задачи удовлетвор€ет n=4 (при n=25 аn=-1000, но аn>0) «начит, альпинисты покорили высоту за 4 дн€.

 

ќтвет: за 4 дн€.

(€)

2) ѕродавец киоска обратил внимание на то, что каждый год в последние 7 дней перед 8 марта количество продаваемых в день поздравительных открыток увеличиваетс€ в одно и тоже число раз по сравнению по сравнению с предыдущим днем. Ќачав торговлю открытками за 7 дней перед праздником, он подсчитал, что в третий день было продано 48 открыток, а в п€тый день Ц 192 открытки. —колько всего открыток будет продано за 7 дней торговли, если замеченна€ продавцом закономерность сохранитс€?





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-08; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1136 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тремитесь не к успеху, а к ценност€м, которые он дает © јльберт Ёйнштейн
==> читать все изречени€...

1926 - | 1859 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.017 с.