Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d,называется арифметической прогрессией. Число d называется разностью прогрессии. Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
an = a 1 + d (n – 1).
- Если
, то 
- возрастающая - Если
, то - убывающая - Если
, то - постоянна
Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:
| Определение арифметической прогрессии | an+1 = an + d |
| Разность арифметической прогрессии | d = an+1 - an |
| Формула n-го члена арифметической прогрессии | an = a1+ d · (n - 1) |
| Сумма n первых членов арифметической прогрессии |  
|
Последовательность 
является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, то есть 
.
Свойства:
1) Член арифметической прогрессии с номером 
может быть найден по формуле
, где 
— первый член прогрессии, 
— ее разность.
2) Характеристической свойство (признак) арифметической прогрессии: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов
. Где n 
N, n≥2
3) Если a 1, a 2,..., an,... - арифметическая прогрессия и k + n = m + p (k, n, m, p 
N), то
| ak + an = am + ap. |
Сумма Sn первых n членов арифметической прогрессии равна
4) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов
|
(АРИНА) Арифметические прогрессии высших порядков
Арифметической прогрессией 2-го порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,
разности, которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:
1, 3, 5, 7, 9, 11…
Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n -ных степеней образует арифметическую прогрессию n -го порядка.
Примеры:
ü Натуральный ряд 
— это арифметическая прогрессия, в которой первый член 
, а разность 
.
ü 
— первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой и 
.
ü Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу 
, то это есть арифметическая прогрессия, в которой 
и 
. В частности, 
есть арифметическая прогрессия с разностью .
ü Сумма первых натуральных чисел выражается формулой
1) Найти сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если: а1 = -5, d = 0,5
Решение:
