Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћоделирование в услови€х противодействи€, игровые модели




 ак уже неоднократно отмечалось, системный анализ невозможен без учета взаимодействий данной системы с внешней средой. –анее упоминалась необходимость учитывать состо€ни€ природы Ч большей частью случайных, стохастических воздействий на систему.

 онечно, природа не мешает (но и не помогает) процессам системы осознанно, злонамеренно или, наоборот, поощр€юще.ѕоэтому учет внешних природных воздействий можно рассматривать как " игру с природой ", но в этой игре природа Ч не противник, не оппонент, у нее нет цели существовани€ вообще, а тем более Ч цели противодействи€ нашей системе.

—овершенно иначе обстоит дело при учете взаимодействий данной системы с другими, аналогичными или близкими по цел€м своего функционировани€.  ак известно, такое взаимодействие называют конкуренцией и ситуации жизни больших систем-монополистов крайне редки, да и не вызывают особого интереса с позиций теории систем и системного анализа.

ќсобый раздел науки Ч теори€ игр позвол€ет хот€ бы частично разрешать затруднени€, возникающие при системном анализе в услови€х противодействи€. »нтересно отметить, что одна из первых монографий по этим вопросам называлась "“еори€ игр и экономического поведени€" (авторы Ч Ќейман и ћоргенштерн, 1953 г., имеетс€ перевод) и послужила своеобразным катализатором развити€ методов линейного программировани€ и теории статистических решений.

¬ качестве простого примера использовани€ методов теории игр в экономике рассмотрим следующую задачу.

ѕусть вы имеете всего три варианта стратегий в услови€х конкуренции S1, S2 и S3 (например Ч выпускать в течение мес€ца один из 3 видов продукции). ѕри этом ваш конкурент имеет всего два варианта стратегий C1 и C2 (выпускать один из 2 видов своей продукции, в каком то смысле замен€ющей продукцию вашей фирмы). ѕри этом мен€ть вид продукции в течение мес€ца невозможно ни вам, ни вашему конкуренту.

ѕусть и вам, и вашему конкуренту достоверно известны последстви€ каждого из собственных вариантов поведени€, описываемые следующей таблицей.

“аблица 3.6

  C1 C2
S1 -2000 + 2000
S2 -1000 +3000
S3 +1000 +2000

 

÷ифры в таблице означают следующее:

Ј вы несете убытки в 2000 гривен, а конкурент имеет ту же сумму прибыли, если вы прин€ли стратегию S1, а конкурент применил C1;

Ј вы имеете прибыль в 2000 гривен, а конкурент тер€ет ту же сумму, если вы прин€ли S1 против C2;

Ј вы несете убытки в сумме 1000 гривен, а конкурент получает такую прибыль, если ваш вариант S2 оказалс€ против его варианта C1 , и так далее.

ѕредполагаетс€, что обе стороны имеют профессиональную подготовку в области “——ј и действуют разумно, соблюда€ правила Ч вариант поведени€ принимают один раз на весь мес€ц, не зна€, конечно, что предприн€л на этот же мес€ц конкурент.

ѕо сути дела, в чисто житейском смысле Ч это обычна€ "азартна€" игра, в которой существует конечный результат, цель игры Ч выигрыш.

Ётой цели добиваетс€ каждый игрок, но не каждый может ее добитьс€. ¬арианты поведени€ игроков можно считать ходами, а множество ходов Ч рассматривать как партию.

ѕусть парти€ состоит всего лишь из одного хода с каждой стороны. ѕопробуем найти этот наилучший ход сначала дл€ вашего конкурента Ч порассуждаем за него.

“ак как таблица известна как вам, так и конкуренту, то его рассуждени€ можно промоделировать.

¬ашему конкуренту вариант C2 €вно невыгоден Ч при любом вашем ходе вы будете в выигрыше, а конкурент в проигрыше. —ледовательно, со стороны вашего противника будет, скорее всего, прин€т вариант C1, доставл€ющий ему минимум потерь.

“еперь можно порассуждать за себ€. ¬роде бы вариант S2 принесет нам максимальный выигрыш в 3000 гривен, но это при условии выбора C2 вашим конкурентом, а он, скорее всего, выберет C1.

«начит наилучшее, что мы можем предприн€ть Ч выбрать вариант S3, рассчитыва€ на наименьший из возможных выигрышей Ч в 1000 гривен.

ќзнакомимс€ с р€дом общеприн€тых терминов теории игр:

Ј поскольку в таблице игры наш возможный выигрыш всегда равен проигрышу конкурента и наоборот, то эту специфику отображают обычно в названии Ч игра с нулевойсуммой;

Ј варианты поведени€ игроков-конкурентов называют чистыми стратеги€ми игры, учитыва€ независимость их от поведени€ конкурента;

Ј наилучшие стратегии дл€ каждого из игроков называют решением игры;

Ј результат игры, на который рассчитывают оба игрока (1000 гривен прибыли дл€ вас или столько же в виде проигрыша дл€ конкурента) называют ценой игры; она в игре с нулевой суммой однакова дл€ обеих сторон;

Ј таблицу выигрышей (проигрышей) называют матрицей игры, в данном случае Ч пр€моугольной.

–ассмотренный выше ход рассуждений по поиску наилучшего плана игры в услови€х конкуренции Ч не единственный способ решени€ задач. ќчень часто намного короче и, главное, более логически стройным оказываетс€ другой принцип поиска оптимальных игровых стратегий Ч принцип минимакса.

ƒл€ иллюстрации этого метода рассмотрим предыдущий пример игры с несколько видоизмененной матрицей.

  C1 C2
S1 -2000 - 4000
S2 -1000 +3000
S3 +1000 +2000

“аблица 3.7

 

ѕовторим метод рассуждений, использованный дл€ предыдущего примера.

Ј ћы никогда не выберем стратегию S1, поскольку она при любом ответе конкурента принесет нам значительные убытки.

Ј »з двух оставшихс€ разумнее выбрать S3, так как при любом ответе конкурента мы получим прибыль.

Ј ¬ыбираем в качестве оптимальной стратегии S3.

–ассуждени€ нашего конкурента окажутс€ примерно такими же по смыслу. ѕонима€, что мы никогда не примем S1 и выберем, в конце концов, S3, он примет решение считать оптимальной дл€ себ€ стратегию C1 Ч в этом случае он будет иметь наименьшие убытки.

ћожно применить и иной метод рассуждений, дающий, в конце концов, тот же результат. ѕри выборе наилучшего плана игры дл€ нас можно рассуждать так:

Ј при стратегии S1 минимальный (min) "выигрыш" составит - 4000 гривен;

Ј при стратегии S2 минимальный (min) "выигрыш" составит - 1000 гривен;

Ј при стратегии S3 минимальный (min) выигрыш составит + 1000 гривен.

¬ыходит, что наибольший (max) из наименьших (min) выигрышей Ч это 1000 гривен и сам бог велел полагать стратегию S3 оптимальной, с надеждой на ответный ход конкурента его стратегией C1. “акую стратегию и называют стратегией MaxiMin.

≈сли теперь попробовать смоделировать поведение конкурента, то дл€ него:

Ј при стратегии C1 максимальный (max) проигрыш составит 1000 гривен;

Ј при стратегии C2 максимальный (max) проигрыш составит 2000 гривен.

«начит, наш конкурент, если он будет рассуждать здраво, выберет стратегию C1, поскольку именно она обеспечивает наименьший (min) из наибольших (max) проигрышей. “акую стратегию и называют стратегией MiniMax.

Ћегко заметить, что это одно и то же Ч вы делаете ход S3 в расчете на ответ C1, а ваш конкурент Ч ход C1 в расчете на S3.

ѕоэтому такие стратегии называют минимаксными Ч мы надеемс€ на минимум максимальных убытков или, что одно и то же, на максимум минимальной прибыли.

¬ двух рассмотренных примерах оптимальные стратегии "противников" совпадали, прин€то говорить Ч они соответствовали седловой точке матрицы игры.

ћетод минимакса отличаетс€ от стандартного пути логических рассуждений таким важным показателем как алгоритмичност ь. ¬ самом деле, можно доказать, что если седлова€ точка существует, то она находитс€ на пересечении некоторой строки S и некоторого столбца C. ≈сли число в этой точке самое большое дл€ данной строки и, одновременно, самое малое в данном столбце, то это и есть седлова€ точка.

 онечно, далеко не все игры обладают седловой точкой, но если она есть, то поиск ее при числе строк и столбцов в несколько дес€тков (а то и сотен) по стандартному логическому плану Ч дело практически безнадежное без использовани€ компьютерных технологий.

Ќо, даже при использовании компьютера, писать программу дл€ реализации всех возможных If... Then придетс€ на специальных €зыках программировани€ (например Ч €зык Prolog). Ёти €зыки великолепны дл€ решени€ логических задач, но практически непригодны дл€ обычных вычислений.≈сли же использовать метод минимакса, то весь алгоритм поиска седловой точки займет на €зыке Pascal или C++ не более 5...10 строк программы.

–ассмотрим еще один простой пример игры, но уже без седловой точки.

  C1 C2
S1 -3000 +7000
S2 +6000 +1000

“аблица 3.8

«адача в этом случае дл€ нас (и дл€ нашего разумного конкурента) будет заключатьс€ в смене стратегий, в надежде найти такую их комбинацию, при которой математическое ожидание выигрыша или средний выигрыш за некоторое число ходов будет максимальным.

ѕусть мы прин€ли решение половину ходов в игре делать с использованием S1, а другую половину Ч с S2.  онечно, мы не можем знать, какую из своих двух стратегий будет примен€ть конкурент, и поэтому придетс€ рассматривать два крайних случа€ его поведени€.

≈сли наш конкурент все врем€ будет примен€ть C1, то дл€ нас выигрыш составит 0.5Ј(-3000)+0.5Ј(+6000 ) = 1500 гривен.

≈сли же он все врем€ будет примен€ть C2, то на выигрыш составит 0.5Ј(+7000)+0.5Ј(+1000 ) = 4000 гривен.

Ќу, это уже повод дл€ размышлений, дл€ анализа. ¬ конце концов, можно прикинуть, а что мы будем иметь в случае применени€ конкурентом также смешанной стратегии? ќтвет уже готов Ч мы будем иметь выигрыш не менее 1500 гривен, поскольку выполненные выше расчеты охватили все варианты смешанных стратегий конкурента.

ѕоставим вопрос в более общем виде Ч а существует ли наилучша€ смешанна€ стратеги€ (комбинаци€ S1 и S2) дл€ нас в услови€х применени€ смешанных стратегий (комбинации C1 и C2) со стороны конкурента? ћатематическа€ теори€ игр позвол€ет ответить на этот вопрос утвердительно Ч оптимальна€ смешанна€ стратеги€ всегда существует, но она может гарантировать минимум математического ожидани€ выигрыша. ћетоды поиска таких стратегий хорошо разработаны и отражены в литературе.

“аким образом, мы снова оказались в роли Ћѕ– Ч системный подход не может дать рецепта дл€ безусловного получени€ выигрыша.

Ќам и только нам, решать Ч воспользоватьс€ ли рекомендацией и применить оптимальную стратегию игры, но при этом считатьс€ с риском возможного проигрыша (выигрыш окажетс€ гарантированным лишь при очень большом числе ходов).

«авершим рассмотрение последнего примера демонстрацией поиска наилучшей смешанной стратегии.

ѕусть мы примен€ем стратегию S1 с частотой e, а стратегию S2 с частотой (1 - e).

“огда мы будем иметь выигрыш

W(C1) = e Ј (-3000) + (1-e) Ј (+6000) = 6000 - 9000Јe

при применении конкурентом стратегии C1

или будем иметь выигрыш

W(C2) = e Ј (+7000) + (1-e) Ј (+1000) = 1000 + 6000Јe

при применении конкурентом стратегии C2.

“еори€ игр позвол€ет найти наилучшую стратегию дл€ нас из услови€ W(C1) = W(C2); {3 - 16}

что приводит к наилучшему значению e =1/3 и математическому ожиданию выигрыша величиной в (-3000)Ј(1/3)+(+6000)Ј(2/3)=3000 гривен.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-08; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 397 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћаской почти всегда добьешьс€ больше, чем грубой силой. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2128 - | 1994 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.026 с.