Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


¬еро€тность и закон нормального распределени€ веро€тностей




 

¬еро€тность () Ц действительное число в диапазоне от 0 до1, приписываемое случайному событию, представл€ющее отношение количества благопри€тных случаев (n) ко всему количеству возможных случаев (N) в данной совокупности случаев, т.е. P = n / N. ѕри n = 0, P = n / N = 0 / N = 0; при n = N, P = n / N = N / N = 1, т.е. событие становитс€ неслучайным, а погрешность становитс€ систематической.

ѕри – < 0,5 событие считают маловеро€тным, при – ³ 0,5 событие считаетс€ веро€тным. „ем больше N, тем больше веро€тность и достоверность событи€. ѕри N стрем€щемс€ к бесконечности, стремитс€ к единице (закон больших чисел).

¬ теории веро€тностей известны несколько законов распределени€ веро€тностей. ¬ большинстве случаев погрешности измерений подчин€ютс€ закону нормального распределени€ веро€тностей Ц закону √аусса (если говорить точнее, то имеет место нечто среднее между нормальным и равноверо€тностным законами).

”равнение закона √аусса, определ€ющее плотность веро€тности Y при совпадении оси симметрии кривой с осью ординат:

 
 

где σ Ц теоретическа€ средн€€ квадратическа€ погрешность,

eї 2,7183 Ц основание натуральных логарифмов,

Δ Ц остаточна€ погрешность

Δ = xi Ц mх, где xi Ц один из результатов,

mх Ц средний арифметический результат или математическое ожидание случайной величины).

ќдной из количественных характеристик случайных величин €вл€етс€ дисперси€, котора€ характеризует рассе€ние случайных величин относительно среднего арифметического значени€ (центра группировани€ случайных величин

 
 

Ц математического ожидани€):

 

где N Ц общее количество случаев, xi Ц отдельный результат, mx Ц математическое ожидание.

 
 

»з формулы видно, что D[x] имеет квадратическое значение, что неудобно (например, получаетс€ мм2). ѕоэтому примен€ют более удобную величину Ц теоретическую среднюю квадратическую погрешность:

(здесь и далее, дл€ обеспечени€ преемственности с курсом нормировани€ точности прин€ты те же обозначени€; в метрологии σх = s).

«акон √аусса действует при достаточно большом количестве равновли€ющих и незначительных по величине случайных погрешностей.

≈сли учитывать только случайные погрешности в чистом виде, то закон √аусса можно представить графически (рис.10) в виде теоретической кривой нормального распределени€ (кривой плотности распределени€ веро€тностей)

y

 
 


34,136% 34,136%

                   
   
 
   
     
 
 
 
 
   


_ “очки перегиба кривой

mx = X = Aср


“еоретическа€ крива€

 

13,592% 13,592%

 

2,137% 2,137%

0,135% 0,135%

x

-σ +σ

-2σ +2σ

±3σ = 6σ

 

–ис.10 √рафическое изображение закона нормального распределени€

y Ц плотность веро€тности P, частность, в нашем случае частота по€влени€ i-той составл€ющей случайной погрешности; xi Ц остаточна€ i-та€ погрешность или погрешность отдельного i-того измерени€, характеризующа€ отклонение случайной величины (результата измерени€) от центра группировани€ (xi = Ai Ц Aср, где i = 1,2,Е, n Ц пор€дковые номера измерений; Ai Ц результат i-того измерени€; Aср Ц средний арифметический результат измерений, соответствующий центру группировани€ результатов (стремитс€ к математическому ожиданию)).

“еоретическа€ средн€€ квадратическа€ погрешность характеризует зону рассе€ни€ Ц разброса случайных величин относительно центра группировани€:

(в знаменателе n, если n ³ 25; n Ц1, если n < 25).

—редн€€ веро€тна€ погрешность γ = 0,675 * σї 0,7 σ.

 рива€ √аусса обладает свойством, что если площадь, заключенную между кривой и осью абсцисс прин€ть за 100% (или равной 1), то площадь, заключенна€ между частью кривой и отрезком в пределах ± σ на оси абсцисс составитї68%, а между частью кривой и отрезком в пределах ± 2σ составитї95,456% от всей площади (т.е. доверительна€ веро€тность 95,456% или 0,95456ї 0,95). –аспределение этих площадей соответствует распределению случайных погрешностей.

ѕри измерени€х практически принимают Δlimи = ± σ и, которую называют предельной (наибольшей допустимой) случайной погрешностью измерени€, а зону рассе€ни€ погрешностей в пределах ± 2σ и называют полем рассе€ни€ погрешностей измерений.

“ак как вс€ площадь составл€ет 100% (или равна 1), а площадь, соответствующа€ веро€тности предельной случайной погрешности измерени€ 95,456%, то оставша€с€ часть площади равна 4,544% (риск выхода погрешности за пределы ± 2σ и). —ледовательно, с веро€тностью очень близкой к 100% (или 1) можно утверждать, что случайные погрешности измерений, при достаточно большом количестве измерений (или составл€ющих случайной погрешности), не будут выходить за пределы ± 2σ и, т.е. будут считатьс€ допустимыми. Ќо, так как возможен выход погрешности, как в плюс, так и в минус, то риск составл€ет 2,272%ї 2,3%. ѕогрешности измерений, превышающие ± 2σ n, относ€т к грубым.

ѕри изготовлении (обработке) изделий, в том числе деталей —», величину Δтlim = ± 3σ т называют предельной случайной погрешностью изготовлени€ (технологической). ƒетали, имеющие погрешности за пределами ± 3σ т, представл€ют собой брак.

јнализ кривой √аусса показывает, что:

- малые по величине погрешности встречаютс€ значительно чаще, чем большие;

- одинаковые по абсолютной величине погрешности, но противоположные по знаку, встречаютс€ одинаково часто;

- большинство результатов измерений группируютс€ около середины пол€ рассе€ни€ (т.е. имеют значени€ погрешностей близкие к нулю, но не равные ему);

- с увеличением количества измерений среднее арифметическое из случайных погрешностей данного р€да стремитс€ к нулю (благодар€ чему, увеличива€ количество измерений одной величины можно уменьшать вли€ние случайных погрешностей на результаты измерений, практически исключа€ их);

- наиболее достоверные результаты при многократных измерени€х представл€ют собой средние арифметические из получаемых результатов (и наоборот);

- погрешности, выход€щие за пределы ± 2σ и, признаютс€ грубыми и исключаютс€ из результатов измерений.

ƒл€ оценки степени уменьшени€ вли€ни€ случайной погрешности пользуютс€ правилом , где N Ц количество измерений. »з этого правила следует, что если одну и ту же величину измер€ть 4 раза, то вли€ние случайной погрешности на результаты измерений уменьшатс€ в 2 раза (если прин€ть за результат јср), если измерить 9 раз, то уменьшитс€ в 3 раза и т.д.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-08; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 615 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

¬ моем словаре нет слова Ђневозможної. © Ќаполеон Ѕонапарт
==> читать все изречени€...

525 - | 477 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.022 с.