Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конечное или бесконечное счетное число (изолированных) значений. Например, можно рассмотреть случайную величину 
– число точек на грани игрального кубика, выпадающее при его подбрасывании [3].
Законом распределения дискретной случайной величины называется соотношение между ее возможными значениями и их вероятностями (т. е. вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти возможные значения).
Закон распределения может быть задан формулой (формулы Бернулли, Пуассона и др.), таблицей или графиком, а также функцией распределения.
Функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины 
называется функция
,
определяющая вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее 
.
Свойства функции распределения:
а) функция распределения принимает значения только из отрезка [0,1]:
0 ≤ F(x) ≤ 1;
б) F(x) – неубывающая функция, т.е. если x2 > x1, то F(x2) > F(x1);
в) F(- ∞) = 0; F(+ ∞) = 1;
г) вероятность того, что случайная величина примет значение из
интервала 
(причем 
), равна:
;
д) F(x) непрерывна слева, т. е. F(x) = F(x – 0)
Закон распределения дискретной случайной величины может быть представлен в виде многоугольника распределения – фигуры, состоящей из точек 
, соединенных отрезками (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Многоугольники уни (моно)модального (а), полимодального (б) и антимодального (в) распределений
Математическим ожиданием 
дискретной случайной величины называется среднее значение данной случайной величины
,
т. е. математическое ожидание – это сумма произведений значений случайной величины 
на соответствующие вероятности 
.
Мода 
распределения – это значение СВ, имеющее наиболее вероятное значение. Если мода единственна, то распределение называется унимодальным (рис. 1.3, а), в противном случае – полимодальным (рис. 1.3, б) Если в середине диапазона изменения аргумента наблюдается минимум на графике многоугольника вероятностей, тогда распределение называется антимодальным (рис. 1.3, в).
Медиана 
– это значение случайной величины, которое делит таблицу распределения на две части таким образом, что вероятность попадания в одну из них равна 0,5
.
Медиана обычно не определяется для дискретной случайной величины.
Величина 
, определяемая равенством 
, называется квантилью порядка 
. Соответственно квантиль порядка 0,5 является медианой.
Свойства математического ожидания.
а) 
, где 
;
б) 
;
в) 
;
г) если случайные величины и 
независимы, то 
.
Дисперсией 
ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания
,
.
Дисперсия служит для характеристики рассеяния СВ относительно ее математического ожидания
.
Свойства дисперсии:
а) 
, где ;
б) 
;
в) 
,
где 
– ковариация двух случайных величин и ;
г) если и некоррелированы, то 
, тогда 
.
Средним квадратическим отклонением 
называется величина, которая имеет ту же размерность, что и СВ :
.
При1. гипергеометрическом законе вероятность появления 
числа 
дефектных изделий в выборке с числом деталей 
описывается следующим выражением
, (1.5)
где 
- объем партии изделий; 
- число дефектных изделий в партии; 
- число сочетаний из по ; 
- число сочетаний из 
по 
; 
- число сочетаний из по .
Величины 
- постоянные, а является случайной переменной.
2.При 
гипергеометрический закон стремится к биномиальному закону, в соответствии с которым вероятность появления дефектных изделий (их количество - d) в выборке объемом составляет
, (1.6)
где 
- число сочетаний из по ;
- характеристика контролируемой партии.
3.При и 
биномиальный закон распределения совпадает с законом Пуассона. При этом вероятность появления дефектных изделий (их количество - ) в выборке объемом равно 
, (1.7)
где 
- положительная величина, называемая параметром Пуассона.
1. Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения с параметрами n и p, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями
где 
.
Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа X = m наступлений событий A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p.
Математическое ожидание: 
.
Дисперсия: 
.
Биномиальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, при моделировании цен активов, в теории стрельбы и т.д.
2. Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона с параметром l > 0, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями
Математическое ожидание: 
.
Дисперсия: 
.
При достаточно больших n (
) и малых значениях р (
) при условии, что произведение 
– постоянная величина (
), закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона (закон массовых и редких событий). Кроме этого, по закону Пуассона распределены число сбоев на автоматической линии, число отказов сложной системы в «нормальном режиме», число «требований на обслуживание», поступивших в единицу времени в системах массового обслуживания и др.
4. Закон распределения Бернулли. Случайная величина , распределенная по закону Бернулли (индикаторная случайная величина), принимает значения: 1 – «успех» или 0 – «неудача» с вероятностями 
и 
соответственно
| ||
| 
|
|
Математическое ожидание случайной величины : 
.
Дисперсия: 
.
