Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Законы распределения вероятности и их числовые характеристики




Математический аппарат теории вероятностей широко используется в метрологии. Рассмотрим некоторые свойства законов распределения вероятности, являющихся моделями эмпирических законов распределения, получаемых из экспериментальных данных методами математической статистики.

Функция распределения вероятности F (x) и плотность распределения вероятности P (x) служат в теории вероятности моделями эмпирических законов распределения экспериментальных данных.

Свойства законов распределения вероятности:

1. Функция F (x) определяет вероятность того, что отдельный результат, полученный по формулам (1, 4) будет меньше ее аргумента.

2. Так как вероятность не может быть отрицательной, то F (x) ³ 0 всегда; и чем больше х, тем больше вероятность того, что ни один результат, полученный по формулам, не превысит этого значения, так как F (x) – функция неубывающая.

3. Результат, полученный по приведенным выше формулам, больше некоторого х 1 с вероятностью F (x 1) и меньше х 2 с вероятностью F (x 2):

.

4. P (x i) связано с F (x i) формулой:

,

то есть P (x) является дифференциальной функцией распределения вероятности.

5. Так как F (x) – функция неубывающая, то ее производная неотрицательна.

6. Вероятность того, что отдельный результат, полученный по формулам, окажется в заданном интервале, равна площади, ограниченной графиком функции P(x), осью абсцисс и перпендикулярами на концах интервала:

7. При расширении интервала до бесконечности рассматриваемое событие становится достоверным. Поэтому площадь, ограниченная графиком функции P (х) и осью абсцисс, равна 1:

.

Описание отсчета или результата измерения с помощью законов распределения вероятности является наиболее полным, но неудобным. Во многих случаях ограничиваются приближенным описанием закона распределения вероятности с помощью его числовых характеристик,или моментов. Все они представляют собой некоторые средние значения, причем, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра закона распределения – центральными.

Общее правило написания моментов:

,

где r – номер момента.

Важнейшим начальным моментом является первый, его называют математическим ожиданием M (x) или средним значением результатов:

.

Свойства математического ожидания:

1) математическое ожидание неслучайного числа равно самому этому числу:

M (a) = a, где а – неслучайное число, а = const;

2) постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M (a · x) = a · M (x);

3) математическое ожидание алгебраической суммы случайных чисел равно алгебраической сумме их математических ожиданий:

M (x + y - z) = M (x)+ M (y) – M (z);

4) математическое ожидание произведения независимых случайных чисел равно произведению их математических ожиданий:

M (x · y) = M (xM (y);

5) математическое ожидание отклонения случайного числа от его математического ожидания равно нулю:

M [ xM (x)] = 0.

Мерой рассеяния отдельных результатов, полученных по формуле (1) или (4), около их среднего значения служит второй центральный момент. Общее правило образования центральных моментов записывается следующим образом:

откуда сразу видно, что первый центральный момент тождественно равен нулю:

Второй центральный момент называется дисперсией и обозначается :

Иногда дисперсию удобнее обозначать символом D (х).

Свойства дисперсии:

1) дисперсия неслучайного числа равна нулю:

D (a) = 0;

2) постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:

D (a · x) = a 2· D (x);

3) дисперсия алгебраической суммы двух случайных чисел

,

где коэффициент корреляции

;

4) дисперсия алгебраической суммы независимых случайных чисел равна арифметической сумме их дисперсий:

D (x + yz) = D (x)+ D (y)+ D (z);

5) дисперсия случайного числа равна разности между математическим ожиданием его квадрата и квадратом математического ожидания:

D (x) = M (x 2) – M 2(x).

Чем больше дисперсия, тем значительнее рассеяние результатов, полученных по формулам (1), (4) относительно .

В метрологии в качестве меры рассеяния чаще используют среднее квадратическое отклонение:

.

Находит применение и третий центральный момент:

Мерой несимметричности распределения вероятности служит асимметрия:

,

которая может быть положительной и отрицательной. Для симметричных распределений вероятности отсчета асимметрия равна нулю

Четвертый центральный момент используется для оценки заостренности дифференциальной функции распределения вероятности. Мерой заостренности служит эксцесс:

,

равный трем у закона распределения вероятности отсчета, кривая плотности вероятности которого имеет колоколообразную форму. Кривые с более острой вершиной имеют больший эксцесс, с более пологой – меньший, вплоть до отрицательного.

Мерой неопределенности случайного числа является энтропия (мера хаоса):

.

Это среднее значение логарифма плотности вероятности, взятое со знаком минус. Так как P (х)< 1, то энтропия всегда положительна. Она равна нулю у неслучайного числа и максимальна при равномерной плотности распределения вероятности.

Дифференциальная и интегральная функции (F (x i), P (x i)) распределения вероятности и все моменты обладают важным качеством: будучи характеристиками случайного числа, сами они не являются случайными.


Таблица 1

 

-распределение модуля многомерного вектора           >0      
- распределение (Пирсона)       >0 При Где - Пси –функция Эйлера  
- распределение              

 


Наиболее распространенной формой плотностью распределения вероятности результатов измерений во многих природных процессах является так называемое нормальное распределение (распределение Гаусса) (рис.9). Некоторые из законов распределения вероятности результатов измерений представлены в табл. 1

 

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-07; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1736 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Победа - это еще не все, все - это постоянное желание побеждать. © Винс Ломбарди
==> читать все изречения...

2229 - | 2061 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.007 с.