по исследованию свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы. Задание Д-23. вариант №16
Дано: механизм приводится в движение грузом 1 до момента, когда противодействие пружины его не остановит. После этого механизм совершает свободные колебания под действием силы веса груза 1, инерционных сил всех звеньев и силы упругости пружины. Массы звеньев: m1=1кг, m2=2кг, m4=3кг, Жёсткость пружины с=32н/см.
Начальное положение (соответствующее статической деформации пружины) и скорость груза 1, взятые в проекции на ось Y: y0=0,3см, 
Определить:
1) частоту (к) и период (Т) малых свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы, пренебрегая силами сопротивления и массами нитей.
2) найти уравнение движения груза 1 y=y(t), приняв за начало отсчета положение покоя груза 1 (при статической деформации пружины).
3) найти амплитуду (а) колебаний груза 1.
Решение:
1. Воспользуемся уравнением Лагранжа II рода для консервативной системы (уравнение (23)), приняв за обобщённую координату системы вертикальное отклонение груза 1 от положения покоя (y), соответствующего статической деформации пружины, Имеем следующее уравнение:
(
) - 
= 
где Т – кинетическая энергия системы; П – потенциальная энергия системы.
В общем случае кинетическую энергию Т вычисляем с точностью до величин второго порядка малости относительно 
и 
, а потенциальную энергию П – с точностью до величин второго порядка малости относительно обобщённой координаты . (В приведенном примере задачи в этом нет необходимости)
2. Найдём кинетическую энергию системы, равную сумме: Т=Т1+Т2+Т4
2.1. Для этого составим кинематические уравнения связи скоростей звеньев механизма в зависимости от 
и :
; 
; 
; 
; 
;
2.2. Найдём моменты инерции тел, входящие в уравнения кинетической энергии:
; 
;
2.3. Определим кинетические энергии звеньев механической системы:
; 
; 
2.4. Определим кинетическую энергию системы в целом:
Т=Т1+Т2+Т4= 
+ 
+ 
= 
3. Найдем П – потенциальную энергию системы тел, которая определяется работой сил тяжести звеньев системы и силы упругости пружины на перемещении звеньев системы из отклонённого положения, когда груз имеет координату , в нулевое положение, которым считаем положение покоя системы:
П = П1 + П2
3.1. Найдём потенциальную энергию звеньев, вызванную работой сил тяжести П1:
П1 = - 
3.2. Найдём потенциальную энергию, вызванную работой пружины (при возврате «домой» из отклонённого положения) П2: 
Найдём 
- динамическое растяжение пружины, вызванное перемещением груза 1:
так как то 
; где 
- перемещение пружины и центра тяжести диска 4 (точки О4). Тогда 
3.3. В целом потенциальная энергия системы равняется:
П = П1 + П2= - + 
Рассмотрим два варианта упрощения формулы потенциальной энергии системы:
1-й вариант: определим частную производную П по y:
(то есть производную мы определили при y=0 в положении покоя системы, соответствующем статической деформации пружины).
Тогда: 
=0
2-й вариант: определим сумму моментов всех сил относительно МЦС4 (мгновенного центра скоростей звена 4) для положения покоя системы: 
или: 
То есть в обоих вариантах мы получили одинаковый результат: =0
Вычленим этот двучлен из уравнения потенциальной энергии:
4. Составим уравнение Лагранжа II рода, выполнив операции дифференцирования Т и П:
Мы определили все составляющие уравнения Лагранжа. Сложим их:
- 0 = - 
;
Преобразуем это уравнение Лагранжа II рода, которое приобрело вид линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части (см. справочник Выгодского стр.845):
(А)
мы получили линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части из которого находим все искомые величины.
5. Определим циклическую частоту свободных колебаний системы «К»:
коэффициент при «y» является квадратом циклической частоты свободных колебаний системы:
или 
6. Период свободных колебаний системы (значёк совпадает со значком кинетической энергии – но не более того) равен: 
7. Найдем уравнение движения груза 1, проинтегрировав уравнение (А): его характеристическое уравнение (см справочник Выгодского) 
(общий вид этого характеристического уравнения по Выгодскому 
)
Определим к какому случаю решения относится этот вид уравнения: 
тогда 
Вывод: это III случай линейного уравнения 2-го порядка без правой части. Формула уравнения движения для этого случая имеет вид:
(C1cosβt+C2sinβt) (В) где 
Тогда уравнение движения (В) примет вид: y=C1coskt+C2sinkt (C)
Определим коэффициенты С1 и С2, исходя из того, что нам известны начальные условия кинематического состояния системы (в частности начальные положение и скорость груза 1 - и ): находим уравнение скорости груза 1, продифференцировав уравнение (С): 
- kC1sinkt + kC2coskt (D)
Подставим в уравнения (С) и (D) значения 
и 
при t=0. Получим искомые коэффициенты С1 и С2: y0=0,3см=C1, =kC2 C2= 
тогда уравнение движения груза 1 (С) примет окончательный вид:
y=0,3coskt + 0,375sinkt
8. Определим амплитуду «а» свободных колебаний груза 1:
Выразим уравнение колебательных движений в форме объективно показывающей амплитуду колебаний: y=asin(kt+β) (Е)
Здесь амплитуда объективно выражена и равняется: 
.
Начальная фаза смещения амплитуды колебаний:
β=arctg(
= arctg 
=390=0,68 радиан.
Тогда окончательно уравнение движения груза 1 в форме (Е) примет вид:
y=0,48sin(16t + 0,68)
Понятие устойчивого равновесия механической системы.
Критерий устойчивости Лагранжа – Дирихле.
Равновесие бывает устойчивым, неустойчивым и безразличным.
Критерий:
Пусть все связи механической системы голономные, идеальные, стационарные и удерживающие, а все заданные силы – консервативные.
Пусть в некотором положении S* системы потенциальная энергия системы имеет строгий минимум, а мгновенные скорости всех точек системы равняются нулю.
Тогда S* - это положение устойчивого равновесия системы.
Это достаточное условие.
Два классических условия неустойчивого равновесия были показаны Ляпуновым. Этим вопросом занимался также и Чатаев.
