Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


”равнение Ћагранжа II рода




(общие уравнени€ динамики в обобщЄнных координатах) вар. 2.

 

ќбщее уравнение динамики в векторной форме:

(ј)

даЄт возможность составл€ть дифференциальное уравнение движени€ системы, при этом в него не вход€т реакции идеальных св€зей, так как перемещени€ на этих св€з€х перпендикул€рны направлени€м векторов силы идеальных реакций св€зи (это следует из самого определени€ Ђидеальной св€зиї) и по этой причине работы идеальных реакций на их перемещени€х всегда равны 0:

√де - векторы активных задаваемых сил и, в том числе, сил трени€ в св€з€х, действующие на k-тую материальную точку системы;

- вектор силы инерции, возникающей в k-той материальной точке системы;

- элементарное перемещение радиус-вектора k-той материальной точки системы;

- вектор силы идеальной двусторонней св€зи;

¬ декартовой системе координат уравнение (ј) имеет вид:

(1)

ќднако, когда система материальных точек имеет несколько степеней свободы, пользоватьс€ уравнением (1) не всегда удобно, так как вариации декартовых координат взаимосв€заны между собой. “огда удобнее пользоватьс€ обобщЄнными координатами, которые независимы друг от друга и независимы и их вариации.

»так, нужно общее уравнение динамики (ј), записанное в векторной форме:

(ј) или (2)

записать в обобщЄнных координатах.

–ассматриваем движение несвободной механической системы, состо€щей из n точек, на которую наложены идеальные, стационарные и удерживающие св€зи. Ѕудем полагать, что система имеет S степеней свободы и в случае голономных св€зей число обобщенных координат равно S степеней свободы. “аким образом положение k-той точки будет определ€тьс€ радиус-вектором , который €вл€етс€ функцией всех обобщенных координат : (3) тогда элементарное приращение радиус-вектора k-той точки по j-той обобщенной координате равн€етс€: , где ; и в развЄрнутом виде элементарное приращение радиус-вектора k-той точки по всем обобщенным координатам S равн€етс€: (4)

ѕодставл€ем значение элементарного приращени€ радиус-вектора k-той точки из уравнени€ (4) в уравнение (2):

(5)

подставим значение силы инерции k-той точки , помен€ем пор€док суммировани€ и знаки в обоих част€х равенства (5):

(6)

выразим скорость k-той точки через еЄ частные производные по обобщЄнным координатам и обобщенным скорост€м :

(7)

где

возьмЄм от (7) частную производную по обобщенной скорости :

получим (8)

ѕо€снение:

 

все составл€ющие уравнени€ (7) не завис€т от частной производной по скорости обобщенной координаты и при дифференцировании по превращаютс€ в 0. ќстаетс€ только дифференциал

 

¬ дальнейшем выполним следующие преобразовани€:

1) в первом слагаемом уравнени€ (6) заменим, в соответствии с (8), на и покажем это произведение двух дифференциалов в следующем виде:

(9)

ѕо€снение: Ёто равенство возможно, так как справедливо следующее преобразование:

2) продифференцируем по времени равенство (8):

(10)

ѕо€снение:

ѕокажем процесс дифференцировани€ в уравнении (10) на примере первого слагаемого:

и так далее,

3) найдем частную производную скорости k-той точки в равенстве (7) по обобщенной координате :

(11)

ѕравые части уравнений (10) и (11) равны. —ледовательно, равны и левые части.

 

“о есть: (12)

 

¬ уравнении (9) первое слагаемое правой части запишем, внес€ скорость под знак дифференциала , а во втором слагаемом, воспользовавшись уравнением (12):

, заменим на .

¬ результате этих преобразований получим:

(13)

«аменим первое слагаемое в левой части уравнени€ (6) правой частью равенства (13) (13-2)

«нак суммировани€ введем в скобки первого и второго слагаемых равенства (13-2):

(13-3)

¬ведем пон€тие обобщенной силы (как до этого мы ввели пон€тие обобщенной координаты ).

ќбобщенной силой , соответствующей обобщенной координате , называют скал€рную величину, определ€емую отношением элементарной работы действующих сил на перемещении механической системы, вызванном элементарным приращением обобщенной координаты , к величине этого элементарного приращени€ : .

¬ведем пон€тие элементарной работы: ,

где - сумма активных задаваемых сил, действующих на k-тую точку системы,

- элементарное приращение радиус-вектора k-той точки системы,

¬ведем пон€тие кинетической энергии , и заменим в уравнении (13-2) в первом и втором слагаемых дроби в круглых скобках: , обозначающим их значком кинетической энергии , а третье слагаемое заменим обозначением обобщенной силы , учитыва€, что элементарна€ работа равна .

“огда уравнение (13-3) примет окончательный вид:

(13-4)

“ак как вариации элементарного приращени€ обобщенной координаты (степени свободы системы: j=1, 2, 3,Е s) Ц произвольные независимые и не равные нулю, то уравнение (13-4) упрощаетс€ и, после сокращени€ , окончательно получим уравнение Ћагранжа II рода: (¬) (14)

где j=1, 2, 3,Е s Ц степени свободы механической системы,

- частный дифференциал кинетической энергиисистемы по скорости j-тойобобщенной координаты .

- частный дифференциал кинетической энергиисистемы по j-тойобобщенной координате .

- обобщенна€ сила, соответствующа€ обобщенной координате ,

ЌайдЄм значение дл€ консервативных систем сил (когда силы, действующие на механическую систему, имеют потенциал).

—оставим сумму работ всех сил, действующих на систему, на возможных элементарных перемещени€х радиус-вектора точек , вызванных элементарным приращением обобщенной координаты . ¬оспользуемс€ дл€ этого выражением элементарной работы силы в виде скал€рного произведени€ силы на элементарное приращение обобщенной координаты: (15)

√де элементарные приращени€ радиус-вектора точек , покажем через элементарные приращени€ обобщенной координаты :

“ак как обобщенной силой , соответствующей обобщЄнной координате , называетс€ скал€рна€ величина, определ€ема€ отношением элементарной работы действующих сил, на элементарном перемещении механической системы, вызванном элементарным приращением j-той обобщенной координаты , к величине этого приращени€, то формула обобщЄнной силы будет иметь следующий вид:

(16)

ѕодставив (15) в (16) получим обобщЄнную силу в виде суммы скал€рных произведений векторов силы на частный дифференциал радиус-вектора i-той точки системы по j-той обобщенной координате :

(17)

¬ыразим это скал€рное произведение через проекции векторов на декартовые оси координат:

(18)

¬ том случае, когда силы , действующие на механическую систему, имеют потенциал, тогда проекции этих сил на оси координат равны вз€тым с обратным знаком частным производным от потенциальной энергии системы по соответствующим координатам точек:

(19)

 

ѕодставим это значение проекций сил в формулу (18):

 

(20)

ЌайдЄм частную производную от потенциальной энергии системы по обобщЄнной координате , рассматрива€ как сложную функцию обобщЄнных координат, определ€емую зависимост€ми:

,

где

Ёта частна€ производна€ от потенциальной энергии определ€етс€ суммой 3n слагаемых:

(21)

“ак как правые части уравнений (20) и (21) равны, то равны соответственно и левые части: (22)

ѕодставим значение обобщЄнной силы из уравнени€ (22) в уравнение Ћагранжа II рода (14) и получим уравнение Ћагранжа II рода дл€ консервативных систем сил (когда силы, действующие на механическую систему, имеют потенциал).

:

(23)

 

 

¬џ¬ќƒџ

1. Ќьютоновский метод исследовани€ движени€ механической системы основан на векторной мере движени€ Ц количестве движени€ материальной точки: . Ёта мера требует введени€ пон€ти€ силы (и меры силы - импульса силы )





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 776 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќачинать всегда стоит с того, что сеет сомнени€. © Ѕорис —тругацкий
==> читать все изречени€...

2117 - | 1885 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.033 с.