Уравнения движения вязкой жидкости

(6.3)

в которой с — коэффициент, зависящий только от рода газа, Т — абсолютная температура в градусах Кельвина, μ ₀ — коэффициент вязкости при Т=Т₀. Для воздуха можно пользоваться также приближенной зависимостью

(6.4)

Наряду с динамическим коэффициентом вязкости применяется еще кинематический коэффициент вязкости

(6.5)

Его размерность [ м²/сек ] не содержит динамических величин, а только кинематические, откуда он и получил свое название.

Единицы измерения для μ и ν в различных системах следующие:

	СИ	СГС	МКГС (техническая)
μ	1	1	1
ν	1	1	1

В системе СГС эти единицы имеют специальные названия: 1 дин сек/см² = 1 пуаз; 1 см²/сек = 1 стокс. Соотношение между единицами в различных системах такое:

Применяя формулу Ньютона (6.1) к потоку, движущемуся параллельно плоскости хоу (см. рисунок 110), можно записать

(6.6)

Если рассмотреть два бесконечно близко расположенных слоя, которые на рисунке 110 изображены параллельными плоскостями, то можно заметить, что касательные напряжения на верхний слой со стороны нижнего действуют против движения, а на нижний со стороны верхнего — по движению. Иначе говоря, верхний слой стремится увлечь за собой нижний, а нижний слой тормозит верхний. Объем жидкости, находящийся между такими слоями, деформируется, получая деформацию сдвига (см. рисунок 111). Согласно формуле (1.5)[3] скорость угловой деформации определится как

что при = 0 (так как w_z=0) даст

Тогда

(6.7)

Таким образом, между касательным напряжением и скоростью угловой деформации существует линейная зависимость с коэффициентом пропорциональности 2μ.

В более общем виде связь между напряжениями и скоростями деформации жидкости устана­вливается законом трения Стокса. Этот закон имеет формальную аналогию с законом Гука для твердого тела, применяемом в теории упругости или в сопротивлении мате­риалов. По закону Гука напряжения, возникающие в твердом теле, пропорциональны деформациям: нормальные напряжения пропорциональны линейным относительным деформациям, а касательные — угловым. Согласно закону Стокса напря­же­ния пропорциональны не деформациям, а скоростям деформации: нормальные — скорости линейной деформации, а касательные — скорости угловой деформации. Коэффициент пропорциональности, как это следует из рассмотренного выше частного примера, равен 2μ [4].

Обращаясь к теореме Коши-Гельмгольца (1.7)[5] видим, что при движении жидкого объема в общем случае имеют место следующие скорости деформации:

скорости линейной деформации

скорости угловой деформации

Тогда, принимая во внимание формулы (1.5), можно записать касательные напряжения в таком виде:

(6.8)

а нормальные напряжения, возникающие только от действия сил вязкости, представить так:

(6.9)

Нужно обратить внимание, что полные величины нормальных напряжений р_хх, р_уу, р_zz отличаются от записанных формулой (6.9) на величину давления в газе р₀, которое определяется молекулярно-кинетическими процессами. (Давление в газе или жидкости существует и тогда, когда влияние вязкости отсутствует, например, в идеальной жидкости или в неподвижной реальной жидкости). Таким образом,

(6.10)

Знак минус перед величиной р₀ связан с тем, что давление создает напряжения сжатия, в то время как положительными считаются нормальные напряжения растяжения.

Вычитая из утроенной величины р_xх сумму напряжений, можно записать

откуда

(6.11)

Теперь следует ввести понятие о том, что такое давление в вязкой жидкости.

Если за величину давления принять нормальные напряжения р_хх, р_yy, р_zz, то возникает неудобство, так как в одной и той же точке эти напряжения различны по величине. В этом случае пришлось бы в каждом направлении рассматривать свою величину давления. Для того чтобы понятия давления в вязкой жидкости и в идеальной жидкости сохранялись идентичными, надо отыскать такую комбинацию, составленную из трех напряжений р_хх, р_yy и р_zz, которая не зависела бы от ориентации системы координат, иначе говоря, которая не зависела бы от ориентации площадки, проведенной внутри жидкости для подсчета действующих на нее сил давления. Таким свойством обладает средняя арифметическая величина

р = – (р_хх + р_yy + р_zz)/ 3. (6.12)

Она и принимается в качестве давления в вязкой жидкости.

Пользуясь таким представлением о давлении, можно записать выражение (6.11) для р_хх и аналогичные ему для р_yy и р_zz в следующем виде:

(6.13)

В случае несжимаемой жидкости, согласно уравнению неразрывности divw=0, тогда последние слагаемые в правой части обращаются в нуль и уравнения (6.13) упрощаются. Сопоставляя их с формулами (6.10), нетрудно заметить, что в этом случае р=р₀.

Попутно заметим, что «давление движущейся жидкости имеет свойства гидростатического, если не учитывать сил вязкости. Действительно, для невязкой жидкости силы, являющиеся причиной движения, не отличаются от сил, действующих в покоящейся жидкости (массовые силы, силы инерции). Поэтому доказательство того, что давление образует скалярное поле (см. Гидростатику), полностью распространяется и на движущуюся невязкую жидкость ».

& (Смыслов) с.83 … 84

Для вывода уравнений движения вязкой жидкости рассмотрим элементарный объем АВСDЕFLК (см. рисунок 112), движущийся под действием сил: поверхностных нормальных , поверхностных касательных и массовых . Равнодействующая этих сил, в соответствии со вторым законом Ньютона, должна равняться массе жидкого объема, умноженной на ускорение. Запишем это уравнение сначала в проекциях на ось x, подсчитав предварительно проекции действующих сил

Получим

здесь — масса, а — проекция ускорения на ось х. После подстановки сюда вычисленных значений проекций сил, приведения подобных и сокращения на , это уравнение приобретает вид:

(6.14)

Подставим теперь вместо напряжений их выражения через скорости деформаций, пользуясь формулами (6.13) и (6.8) и считая μ=соnst. Тогда

и уравнение (6.14) после небольших преобразований принимает такой вид:

Применяя здесь операторы Δ и div

запишем

Поделив обе части равенства на ρ и приняв во внимание, что , представим уравнение движения в проекциях на ось х и аналогичные ему в проекциях на оси у и z в окончательном виде

(6.15)

Они называются уравнениями Навье-Стокса [6].

В заключение нужно отметить, что существует кроме зависимости (6.12) еще одна, которая может представлять давление в вязкой жидкости, а именно

р = – (р_хх + р_yy + р_zz)/3 – μ' divw. (6.16)

Эта величина также не зависит от ориентации площадки, на которую рассматривается действие сил давления. Коэффициент μ' называется второй вязкостью.

На формальную возможность такого представления давления указывали еще Стокс и Кирхгоф, однако физическое истолкование явление второй вязкости получило в 1937 году в работах Л.И.Мандельштама и М.А.Леонтовича. Вторая вязкость связана с явлениями неравновесности и проявляется в быстропротекающих процессах. Если в движущемся газе происходит очень быстрое изменение плотности, то наблюдается некоторое отставание в изменении других величин. Восстановление равновесия протекает с диссипацией энергии, т.е. с необратимым преобразованием части энергии в тепло. Таким образом, этот эффект аналогичен вязкости.

Если провести вывод уравнений Навье–Стокса, воспользовавшись формулой (6.16) вместо (6.12), то они принимают такой вид:

(6.17)

Нужно заметить, что в несжимаемой жидкости вторая вязкость не проявляется (div w=0), а в газах при сравнительно медленных процессах последний член в формуле (6.16) мал, поэтому в обычных случаях давление в вязкой жидкости определяют по формуле (6.12), а уравнения Навье - Стокса берут в форме (6.15).

«Дифференциальные уравнения газовой динамики, записанные в координатной форме, сложны, их вывод требует большого времени и большого количества бумаги. Значительно удобнее при их получении использовать векторную алгебру и самые начала тензорного анализа: тензорные обозначения и простейшие тензорные преобразования».

& (Ден) с.13