Разложение на элементарные дроби дробно-рациональных функций

Всякая несократимая дробь , где коэффициенты некоторые действительные числа (коэффициент при старшем члене знаменателя мы делаем равным 1, деля на него числитель и знаменатель) может быть единственным образом преобразована в сумму элементарных дробей вида или , если .

При этом возможны четыре случая (см. [4 ] cтр.130).

а). Знаменатель такой, что уравнение имеет только действительные однократные корни . Разложение ведется по формуле: , где коэффициенты определяются формулами:

, , …,

(в знаменателях – значения производной при )

Пример:

Другой способ определения - метод неопределенных коэффициентов (применяется во всех четырех случаях)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях числителей в левой и правой частях равенства, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим для те же значения, что и выше.

б). Корни знаменателя действительные, но среди них есть кратные.

Разложение ведется по формуле

Пример:

Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов.

в). Среди корней знаменателя есть комплексные, однократные.

Разложение ведется по формуле

Пример:

Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов.

г). Среди корней знаменателя есть комплексные, кратные.

Разложение ведется по формуле

Пример:

Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов.

3. Задание. Вычислить обратное преобразование Лапласа функции