Случайные погрешности

В большинстве при повторении одного и того же измерения в одинаковых условиях результаты отличаются друг от друга. Среднее арифметическое значение измеряемой величины

, (7)

Где < x > – наиболее вероятное значение измеряемой величины при большом числе измерений x_i. Случайные отклонения i -го измерения от среднего значения

Dx_i = x_i - <x>. (8)

Эти отклонения могут быть разными как по величине, так и по знаку, но при большом числе измерений подчиняются статистическим закономерностям. Закономерности распределения (разброс значений Dx_i) характеризует дисперсия s²:

. (9)

Квадратный корень из дисперсии называется стандартным отклонением s случайной величины от истинного значения

. (10)

Функция распределения f(x) для случайных отклонений, как следует из теории вероятностей, имеет вид

. (11)

Её вид в зависимости от стандартного отклонения показан на рисунке 1. Распределение вида (11) называется нормальным или распределением Гаусса.

Как показывают расчёты, для распределения Гаусса в интервал [ <x> - s; <x> + s ] в среднем из 100 измерений попадает 68. Другими словами, вероятность попадания отдельного измерения в этот интервал равна 68%. В интервал [ <x> - 2s; <x> + 2s ] – вероятность попадания 95%, а в интервал [ <x> - 3s; <x> + 3s ] – 99,7%. Эта вероятность р называется доверительной вероятностью или надёжностью.

Если для величины х проведено n серий измерений, то средние значения каждой серии будут различны. В теории вероятностей доказывается, что стандартное отклонение для средних значений s равно

. (12)

Оценка стандартного отклонения по формуле (12) справедлива только для большого числа измерений. В учебных лабораториях, как правило, число измерений ограничено n = 1 ¸ 10. Для увеличения надёжности пользуются коэффициентами Стьюдента t_np (см. таблицу 2). При этом случайная погрешность прямых измерений Dх_сл

. (13)

Таблица 2. Коэффициенты Стьюдента