Понятие дифференциала и его геометрический смысл

Пусть функция определена на промежутке и дифференцируема в окрестности точки ,тогда или по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем , где - бесконечно малая величина при . Отсюда: . Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых: 1. - линейного относительно , т.к. ; 2. - нелинейного относительно , т.к. .

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной: .

Пример. Найти приращение функции при и

Пример. Найти дифференциал функции .

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: .

Тогда формулу для дифференциала функции можно записать в виде: . Откуда , поэтому можно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителем и знаменателем .

Геометрический смысл. На графике функции (рис. 5.) возьмем произвольную точку . Дадим аргументу приращение , тогда функция получает приращение . В точке проведем касательную, образующую угол с осью . Из видно, что . Из имеем: . Таким образом, и соответствует формуле .

Рис. 5.

Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда получает приращение .

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:

1) .	4) .
2) . 3) .	5) .

Формула дифференциала не изменится, если вместо функции от независимой переменной рассматривать функцию от зависимой переменной . Это свойство дифференциала получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы дифференциала, т.е. .

Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Согласно формулы , т.е. , при достаточно малых значениях приращение функции приблизительно равно ее дифференциалу , . Эту формулу часто используется в приближенных вычислениях.

Пример. Вычислить .