Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕон€тие производной. ”равнение касательной и нормали к плоской кривой. Ќепрерывность дифференцируемой функции




ѕроизводные и дифференциалы.

ѕон€тие производной. ”равнение касательной и нормали к плоской кривой. Ќепрерывность дифференцируемой функции.

ѕусть на некотором промежутке определена функци€ . ¬озьмем любую точку . «ададим аргументу произвольное приращение такое, что точка также будет принадлежать . ‘ункци€ получит приращение .

ѕроизводной функции в точке называетс€ предел отношени€ приращени€ функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует), т.е. .

≈сли дл€ некоторого значени€ выполн€етс€ условие или , т.е. пределы равны бесконечности, то говор€т, что в точке функци€ имеет бесконечную производную.

≈сли функци€ имеет конечную производную в каждой точке , то производную можно рассматривать как функцию , также определенную на . Ќахождение производной функции называетс€ дифференцированием функции. ≈сли функци€ в точке имеет конечную производную, то функци€ называетс€ дифференцируемой в этой точке. ‘ункци€, дифференцируема€ во всех точках промежутка , называетс€ дифференцируемой на этом промежутке.

«адача о касательной. ѕусть на плоскости дана непрерывна€ функци€ и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке .

”равнение пр€мой по точке , принадлежащей этой пр€мой, и угловому коэффициенту имеет вид: , где , ( - угол наклона пр€мой).

»з (рис. 1) найдем тангенс угла наклона секущей : .

–ис. 1.

≈сли точку приближать к точке , то угол будет стремитьс€ к углу , т.е. при . —ледовательно, .

»з задачи о касательной следует геометрический смысл производной: производна€ есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой в точке , т.е. . —ледовательно, уравнение касательной к кривой в точке примет вид .

Ќормалью к кривой в данной точке называетс€ пр€ма€, проход€ща€ через данную точку, перпендикул€рна€ к касательной в этой точке. ”равнение нормали к кривой в точке имеет вид: .

ѕример. Ќайти производную функции .

–ешение: ѕридава€ аргументу приращение , найдем соответствующее приращение функции:

.

—оставим отношение: . Ќайдем предел этого отношени€ при : .

ћеханический смысл производной. ѕроизводна€ пути по времени есть скорость точки в момент , т.е. .

‘ункци€ называетс€ дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде , где Ц некоторое число, не завис€щее от , а Ц функци€ аргумента , €вл€юща€с€ бесконечно малой при , т.е. .

¬ы€сним теперь св€зь между дифференцируемостью в точке и существованием производной в той же точке.

“еорема. ƒл€ того чтобы функци€ была дифференцируемой в данной точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

ѕример. ƒоказать, что функци€ недифференцируема в точке .

–ешение: ѕроизводна€ функции (если она существует) равна .

ѕри производна€ не существует, так как отношение т.е. не имеет предела при (ни конечного, ни бесконечного). √еометрически, это означает отсутствие касательной к кривой в точке .

“еорема. ≈сли функци€ дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

ќбратна€ теорема неверна, если функци€ непрерывна в данной точке, то она не об€зательно дифференцируема в этой точке. “ак, функци€ непрерывна в точке , ибо но, как было доказано ранее недифференцируема в этой точке.

“аким образом, непрерывность функции Ц необходимое, но не достаточное условие ее дифференцируемости.

«амечание: ѕроизводна€ непрерывной функции не об€зательно непрерывна. ≈сли функци€ имеет непрерывную производную на некотором промежутке , то функци€ называетс€ гладкой на этом промежутке. ≈сли же производна€ функци€ допускает конечное число точек разрыва, то така€ функци€ на данном промежутке называетс€ кусочно гладкой.

“еорема –олл€. ѕусть функци€ удовлетвор€ет следующим услови€м: 1. непрерывна на отрезке ; 2. дифференцируема на интервале ; 3. на концах отрезка принимает равные значени€, т.е. . “огда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка , в которой производна€ функции равна нулю: .

√еометрический смысл теоремы –олл€. ѕри выполнении условий теоремы внутри отрезка найдетс€ точка , в которой касательна€, проведенна€ к графику функции , параллельна оси (рис. 2). “аких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

«амечание. ѕусть . “огда и Ц нули функции , и между ними найдетс€ така€ точка , что . “аким образом, из теоремы –олл€ следует, что между нул€ми дифференцируемой функции находитс€ хот€ бы один нуль производной (рис. 3).

–ис. 2. –ис. 3.

“еорема –олл€ €вл€етс€ частным случаем теоремы Ћагранжа.

“еорема Ћагранжа. ѕусть функци€ удовлетвор€ет следующим услови€м: 1. непрерывна на отрезке ; 2. дифференцируема на интервале . “огда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка , в которой выполн€етс€ равенство: .

Ёто означает, что если на некотором промежутке выполн€ютс€ услови€ теоремы, то отношение приращени€ функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

√еометрический смысл теоремы Ћагранжа заключаетс€ в том, что при выполнении условий теоремы внутри отрезка найдетс€ точка , в которой касательна€, проведенна€ к графику функции , параллельна хорде (рис. 4). “аких точек может быть и несколько, но одна существует точно.

–ис. 4.

—ледствие. ѕри выполнении условий теоремы Ћагранжа . Ёту формулу называют формулой конечных приращений.

ѕроизводна€ функции может быть найдена по схеме:

1) ƒадим аргументу приращение и найдем наращение значений функции .

2) Ќаходим приращение функции .

3) —оставл€ем отношение .

4) Ќаходим предел этого отношени€ при , т.е. (если этот предел существует).





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1023 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќадо любить жизнь больше, чем смысл жизни. © ‘едор ƒостоевский
==> читать все изречени€...

2097 - | 1824 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.015 с.