Правила и формулы нахождения производных. Производная сложной функции

Основные правила дифференцирования:

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .

2. Производная аргумента равна единице, т.е. .

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е. .

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е. .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например: .

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле (при условии, что ).

6. Производная сложной функции. Пусть задана сложная функция .

Теорема. Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной , т.е. .

 

Производные основных элементарных функций (таблица производных):

1. Производная логарифмической функции.

А) и , где - некоторая функция зависящая от .

Б) и .

2. Производная показательной функции.

А) и .

Б) и .

3. Производная степенной функции.

и .

4. Производная степенно-показательной функции.

.

5. Производная тригонометрических функций.

и ;

и ;

и ;

и .

7. Производная обратных тригонометрических функций.

и ;

и ;

и ;

и .

Пример. Найти производные следующих функций:

А) ;	Б) ;
В) ;	Г) .