Функция y=f(x) задана таблицей 1 Таблица 1
Исходные данные. 
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 12.85
| 154.77
| 9.65
| 81.43
| 7.74
| 55.86
| 5.02
| 24.98
| 1.86
| 3.91
|
| 12.32
| 145.59
| 9.63
| 80.97
| 7.32
| 47.63
| 4.65
| 22.87
| 1.76
| 3.22
|
| 11.43
| 108.37
| 9.22
| 79.04
| 7.08
| 48.03
| 4.53
| 20.32
| 1.11
| 1.22
|
| 10.59
| 100.76
| 8.44
| 61.76
| 6.87
| 36.85
| 3.24
| 9.06
| 0.99
| 1.10
|
| 10.21
| 98.32
| 8.07
| 60.54
| 5.23
| 25.65
| 2.55
| 6.23
| 0.72
| 0.53
|
Требуется выяснить - какая из функций - линейная, квадратичная илиэкспоненциальная наилучшим образом аппроксимирует функцию, заданную таблицей 1.
Решение. Поскольку в данном примере каждая пара значений
встречается один раз, то между
и
существует функциональная зависимость.Для проведения расчетов данные целесообразно расположить в виде таблицы 2,используя средства табличного процессора Microsoft Excel. Таблица 2
Расчет сумм. Поясним как таблица 2 составляется.Шаг 1. В ячейки A2:A26 заносим значения
.Шаг 2. В ячейки B2:B26 заносим значения
.Шаг 3. В ячейку C2 вводим формулу =A2^2.Шаг 4. В ячейки C3:C26 эта формула копируется.Шаг 5. В ячейку D2 вводим формулу =A2*B2.Шаг 6. В ячейки D3:D26 эта формула копируется.Шаг 7. В ячейку F2 вводим формулу =A2^4.Шаг 8. В ячейки F3:F26 эта формула копируется.Шаг 9. В ячейку G2 вводим формулу =A2^2*B2.Шаг 10. В ячейки G3:G26 эта формула копируется.Шаг 11. В ячейку H2 вводим формулу =LN(B2).Шаг 12. В ячейки H3:H26 эта формула копируется.Шаг 13. В ячейку I2 вводим формулу =A2*LN(B2).Шаг 14. В ячейки I3:I26 эта формула копируется.Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования
.Шаг 15. В ячейку A27 вводим формулу =СУММ(A2:A26).Шаг 16. В ячейку B27 вводим формулу =СУММ(B2:B26).Шаг 17. В ячейку C27 вводим формулу =СУММ(C2:C26).Шаг 18. В ячейку D27 вводим формулу =СУММ(D2:D26).Шаг 19. В ячейку E27 вводим формулу =СУММ(E2:E26).Шаг 20. В ячейку F27 вводим формулу =СУММ(F2:F26).Шаг 21. В ячейку G27 вводим формулу =СУММ(G2:G26).Шаг 22. В ячейку H27 вводим формулу =СУММ(H2:H26).Шаг 23. В ячейку I27 вводим формулу =СУММ(I2:I26).Аппроксимируем функцию
линейной функцией
.Для определения коэффициентов
и
воспользуемсясистемой
Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, B27, C27 иD27, запишем систему в виде
решив которую, получим
и
.Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид
.Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результатыпредставлены в таблице 3.
Таблица 3
Результаты коэффициентов линейной аппроксимации. В таблице 3 в ячейках A37:B38 записана формула {=МОБР(A33:B34)}.Функция {=МОБР(A33:B34) вставляется путём нажатия Ctrl+Shift+EnterВ ячейках D37:D38 записана формула {=МУМНОЖ(A37:B38;C33:C34)}.Далее аппроксимируем функцию
квадратичной функцией
. Для определения коэффициентов
,
и
воспользуемся системой
Используя итоговые суммы таблицы 2,расположенные в ячейках A27, B27, C27, D27, E27, F27 и G27 запишем систему ввиде
решив которую, получим
,
и
.Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид
. Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результатыпредставлены в таблице 4.
Таблица 4
Результаты коэффициентов квадратичной аппроксимации. В таблице 4 в ячейках E38:G40 записана формула {=МОБР(E33:G35)}.В ячейках I38:I40 записана формула {=МУМНОЖ(E38:G40;H33:H35)}.Теперь аппроксимируем функцию
экспоненциальной функцией
. Для определения коэффициентов
и
прологарифмируемзначения
ииспользуя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, C27, H27 и I27получим систему
где
.Решив систему, найдем
,
.После потенцирования получим
.Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид
.Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результатыпредставлены в таблице 5. Таблица 5
Результаты коэффициентов экспоненциальной аппроксимации. В таблице 5 в ячейках D45:E46 записана формула {=МОБР(D42:943)}.В ячейках G45:G46 записана формула {=МУМНОЖ(D45:E46;F42:F43)}.В ячейке G47 записана формула =EXP(G45).Вычислим среднее арифметическое
и
по формулам:
Результаты расчета
и
средствами Microsoft Excel представлены в таблице 6.
Вычисление средних значений X и Y. В ячейке F49 записана формула =A26/25.В ячейке F50 записана формула =B26/25.Для того, чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициентдетерминированности данные целесообразно расположить в виде таблицы 7,которая является продолжением таблицы 2. Таблица 7
Вычисление остаточных сумм. Поясним как таблица 7 составляется.Ячейки A2:A27 и B2:B27 уже заполнены (см. табл. 2).Далее делаем следующие шаги.Шаг 1. В ячейку J2 вводим формулу =(A2-$F$49)*(B2-$F$50).Шаг 2. В ячейки J3:J26 эта формула копируется.Шаг 3. В ячейку K2 вводим формулу =(A2-$F$49)^2.Шаг 4. В ячейки K3:K26 эта формула копируется.Шаг 5. В ячейку L2 вводим формулу =(B2-$F$50)^2.Шаг 6. В ячейки L3:L26 эта формула копируется.Шаг 7. В ячейку M2 вводим формулу =($D$37+$D$38*A2-B2)^2.Шаг 8. В ячейки M3:M26 эта формула копируется.Шаг 9. В ячейку N2 вводим формулу=($I$38+$I$39*A2+$I$40*A2^2-B2)^2.Шаг 10. В ячейки N3:N26 эта формула копируется.Шаг 11. В ячейку O2 вводим формулу=($G$47*EXP($G$46*A2)-B2)^2.Шаг 12. В ячейки O3:O26 эта формула копируется.Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования
.Шаг 13. В ячейку J27 вводим формулу =СУММ(J2:J26).Шаг 14. В ячейку K27 вводим формулу =СУММ(K2:K26).Шаг 15. В ячейку L27 вводим формулу =СУММ(L2:L26).Шаг 16. В ячейку M27 вводим формулу =СУММ(M2:M26).Шаг 17. В ячейку N27 вводим формулу =СУММ(N2:N26).Шаг 18. В ячейку O27 вводим формулу =СУММ(O2:O26).Теперь проведем расчеты коэффициента корреляции по формуле
(только для линейной аппроксимации)и коэффициента детерминированности по формуле
. Результаты расчетов средствами Microsoft Excel представлены в таблице 8. Таблица 8
Результаты расчета. В таблице 8 в ячейке D53 записана формула =J27/(K27*L27)^(1/2).В ячейке D54 записана формула =1- M27/L27.В ячейке D55 записана формула =1- N27/L27.В ячейке D56 записана формула =1- O27/L27.Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимациянаилучшим образом описывает экспериментальные данные.
