Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕоверхность второго пор€дка в трЄхмерном пространстве

1∞. ќсновные виды поверхностей второго пор€дка.

ѕусть в трЄхмерном пространстве задана, декартова пр€моугольна€ система координат.

–ассмотрим уравнение

, (1)

где среди коэффициентов хот€ бы один отличен от нул€. ћножество точек пространства с координатами , удовлетвор€ющих уравнению (1), определ€ет, вообще говор€, некоторую поверхность, называемую поверхностью второго пор€дка. ≈сли уравнение (1) не имеет ни одного решени€, то будем говорить, что оно определ€ет мнимую поверхность.

¬ некоторых случа€х уравнение (1) может определ€ть пару различных или совпадающих плоскостей или одну единственную точку. Ќо и такие множества будем называть поверхност€ми.

ѕеречислим важнейшие частные случай уравнени€ (1):

1) Ёллипсоид

.

2) ќднополостный гиперболоид

.

3) ƒвуполостный гиперболоид

.

4) Ёллиптический параболоид

.

5) √иперболический параболоид

.

6)  онус второго пор€дка

.

7) “очка

.

8) ÷илиндры второго пор€дка:

цилиндр эллиптический

,

цилиндр гиперболический

,

цилиндр параболический

,

пара пересекающихс€ плоскостей

,

пара параллельных или совпадающих плоскостей

,

,

пр€ма€

.

ќстановимс€ теперь лишь на более подробном изучении уравнений и описываемых ими поверхностей, указанных выше восьми типов.

Ёллипсоид

. (2)

ѕри эллипсоид (2) обращаетс€ в сферу радиуса с центром в начале координат, т.е. геометрическое место точек, отсто€щих от начала на рассто€нии .

¬еличины называютс€ полуос€ми эллипсоида.

≈сли в уравнении (2) заменить (одновременно или порознь) на , на , на , то оно не изменитс€, Ц это показывает, что эллипсоид (2) есть поверхность, симметрична€ относительно координатных плоскостей и начала координат. ѕоэтому достаточно изучить уравнение эллипсоида (2) в первом октанте (системы координат), т.е. дл€ . „асть эллипсоида, наход€ща€с€ в первом октанте, определ€етс€ €вным уравнением, например

.

ƒл€ определЄнности будем считать, что . Ёллипсоид есть ограниченна€ поверхность. ќн находитс€ внутри шара радиуса с центром в начале координат: дл€ координат любой точки эллипсоида имеет место неравенство

.

„тобы составить более точное представление об эллипсоиде, произведЄм сечени€ плоскост€ми, параллельными координатным плоскост€м. Ќапример, пересека€ эллипсоид плоскост€ми , получим в сечении эллипсы

с полуос€ми

.

ќтсюда видно, что самый большой эллипс получаетс€ в сечении эллипсоида плоскостью . јналогична€ картина будет при сечении плоскост€ми , .

Ёллипсоид (2) имеет вид, изображенный на рис. 1.

–ис. 1.

“очки , , лежат на эллипсоиде (2) и называетс€ его вершинами.

≈сли какиеЦлибо две полуоси равны между собой, то эллипсоид (2) будет эллипсоидом вращени€, т.е. получаетс€ от вращени€ эллипса относительно соответствующей оси координат.

ќднополостный гиперболоид

. (3)

ѕо виду уравнени€ (3) заключаем, что однополостный гиперболоид €вл€етс€ поверхностью, симметричной относительно координатных плоскостей и начала координат. „исла называютс€ полуос€ми однополостного гиперболоида. “очка , , лежащие на поверхности (3), называютс€ вершинами однополостного гиперболоида.

ѕересечЄм поверхность (3) плоскостью , тогда в сечении получим эллипс

с полуос€ми

.

ѕри изменении от до этот эллипс описывает поверхность (3).

≈сли теперь пересечь поверхность (3) плоскостью (или ), то получим в сечении гиперболу

.

ѕри перва€ гипербола распадаетс€ на две пр€мые .

≈сли , то действительной осью симметрии соответствующей гиперболы €вл€етс€ пр€ма€, параллельна€ оси , а при Ц пр€ма€, параллельна€ оси .

ƒействительной осью симметрии гиперболы мы называем ту из осей симметрии, которую гипербола пересекает.

≈сли , то поверхность (3) в сечении плоскост€ми будет иметь окружности радиуса . ѕоверхность (3) в этом случае образуетс€ от вращени€ гиперболы около оси . ќбщий вид однополостного гиперболоида изображЄн на рис. 2.

ƒвуполостный гиперболоид

. (4)

“ак как уравнение (4) содержит только квадраты переменных, то данна€ поверхность симметрична относительно плоскостей , , и начала координат.

”равнение (4) запишем ещЄ в виде

. ()

ќтсюда €сно, что, пересека€ поверхность () плоскостью , получим в сечении эллипс

с полуос€ми

.

ѕри число , и поэтому нет точек пересечени€ поверхности () и плоскости .

 
 

 


–ис. 2. –ис. 3.

ѕри сечении поверхности (4) плоскост€ми получим гиперболы

.

“очки лежат на поверхности (4) и называютс€ вершинами двуполостного гиперболоида. ѕоверхность (4) изображена на рис. 3.

Ёллиптический параболоид

. (5)

“ак как (5) присутствуют квадраты переменных и , то данна€ поверхность симметрична относительно координатных плоскостей , . ƒалее, так как мы считаем , то поверхность (5) расположена в полупространстве .

ѕересека€ поверхность (5) плоскост€ми , в сечении будем получать эллипсы

с полуос€ми

.

ѕри изменении от нул€ до данные эллипса описывают нашу поверхность (5).

ѕересека€ поверхность (5) плоскост€ми (или ), мы получим в сечении параболы

со смещЄнной вершиной в точке .

ѕри поверхность (5) будет поверхностью вращени€, получающейс€ от вращени€ параболы около оси . ¬ этом случае поверхность (5) называют параболоидом вращени€.

“очка лежит на поверхности (5) и называетс€ вершиной эллиптического параболоида. Ёллиптический параболоид изображЄн на рис. 4.

√иперболический параболоид

. (6)

ѕо виду уравнени€ (6) заключаем, что данна€ поверхность симметрична относительно плоскостей , . ѕересека€ поверхность (6) плоскост€ми , мы будем получать в сечении гиперболы

,

причЄм при действительна€ ось симметрии гиперболы будет параллельной оси , а при Ц оси . ѕри в сечении будут две пересекающиес€ пр€мые.

ѕри сечении поверхности (6) плоскост€ми или , получим параболы, направленные ветв€ми вниз или вверх:

.

ѕоверхность (6) изображена на рис. 5.

–ис. 4. –ис. 5.

 онус второго пор€дка

. (7)

ƒанна€ поверхность симметрична относительно плоскостей , , и начала координат.

ѕри сечении поверхности (7) плоскост€ми будем получать эллипсы

с полуос€ми и .

≈сли же пересекать поверхность (7) плоскост€ми или , то в сечении получим гиперболы

.

≈сли теперь пересекать (7) плоскост€ми , то в сечении получим пару пересекающихс€ пр€мых

.

¬ид конуса изображЄн на рис. 6.

–ис. 6.

“очка

. (8)

”равнению (8) удовлетвор€ет только одна точка .

÷илиндры второго пор€дка

а) Ёллиптический цилиндр

. (9)

”равнение (9) не содержит переменной . Ќа плоскости уравнение (9) определ€ет эллипс с полуос€ми и . ≈сли точка лежит на этом эллипсе, то при любом точка лежит на поверхности (9). —овокупность таких точек есть поверхность, описанна€ пр€мой, параллельной оси и пересекающей эллипс

в плоскости .

Ёллипс (9) называют направл€ющей линией данной поверхности, а все возможные положени€ движущейс€ пр€мой Ц образующими.

¬ообще поверхность, описываема€ пр€мой, остающейс€ параллельной некоторому заданному направлению и пересекающей данную линию , называетс€ цилиндрической. ѕоверхность (9) изображена на рис. 7.

–ис. 7.

б) √иперболический и параболический цилиндры

, (10)
. (11)

¬ данном случае направл€ющими лини€ми поверхностей €вл€ютс€ гипербола и парабола, а образующими Ц пр€мые, параллельные оси и проход€щие через гиперболу и параболу в плоскости . ѕоверхности (10) и (11) изображены на рис. 8 и 9.

–ис. 8. –ис. 9.

в) ѕараллельные и пересекающиес€ плоскости. ѕр€ма€

, (12)
, (13)
, (14)
(15)

ƒл€ поверхности (12) направл€ющими €вл€ютс€ пр€мые линии

.

ѕоэтому поверхность (12) есть пара пересекающихс€ плоскостей. ¬ уравнении поверхностей (13) и (14) отсутствуют по две координаты. ”равнение (13) в плоскости есть пара пр€мых .

≈сли мы будем брать и любые и , то точки будут удовлетвор€ть уравнению (13), поэтому поверхность (13) есть пара параллельных плоскостей.

”равнение (14) описывает плоскость , так как этому уравнению удовлетвор€ют любые точки вида , всЄ множество которых и составл€ет плоскость .

ћожно также рассматривать как направл€ющую в какойЦлибо из плоскостей или , а образующими €вл€ютс€ пр€мые, параллельные оси или оси и проход€щие через пр€мую .

”равнению (15) удовлетвор€ет люба€ точка с и любым . ѕоэтому (15) изображает пр€мую, а именно, ось .

Ћинейчатые поверхности

Ќекоторые второго пор€дка образованы движением пр€мой. “акими €вл€ютс€ все цилиндрические поверхности и конус второго пор€дка. ќднако имеютс€ и другие поверхности, которые также образуютс€ движением пр€мой.

ѕоверхность, образованна€ движением пр€мой, называетс€ линейчатой, а целиком лежащие на ней пр€мые Ц пр€молинейными образующими.

  линейчатым поверхност€м относ€тс€ однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.

”равнение однополостного гиперболоида (3) можно записать в виде

или, разлага€ левую и правую части на множители, получаем

. (16)

—оставим систему уравнений первой степени:

(17)

где Ц произвольный параметр.

ѕри определЄнном значении этого параметра мы получим пр€мую линию, а при изменении Ц семейство пр€мых. ≈сли мы перемножим уравнени€ (17) почленно, то получим уравнение (16) нашей поверхности. ѕоэтому люба€ точка , удовлетвор€юща€ системе (17), находитс€ на поверхности (16). —ледовательно, кажда€ из пр€мых семейства (17) целиком лежит на поверхности однополостного гиперболоида.

—овершенно аналогично система

(18)

где Ц параметр, также определ€ет семейство пр€мых, отличное от семейства (17), принадлежащее поверхности (16).

„ерез каждую точку гиперболоида (16) проходит по одной пр€мой каждого семейства, вообще при различных значени€х параметров и (рис. 10).

–ис. 10.

2∞. »сследование общего уравнени€ второго пор€дка с трем€ переменными.

ѕусть поверхность второго пор€дка задана уравнением (1):

.

“акже как и в случае линий второго пор€дка, путЄм преобразований поворота и переноса координатной системы уравнени€ (1) сложно привести к некоторому каноническому виду. ќказываетс€, существует ровно 17 типов канонических уравнений второго пор€дка, которые и будут получены ниже.

¬начале рассмотрим квадратичную форму

,

фигурирующую в левой части уравнени€ (1). Ќа основании теоремы 1 из І13 существует ортогональное преобразование базисных векторов (представл€ющее собой преобразование поворота) такое, что в левом базисе квадратична€ форма имеет диагональный вид:

.

“огда в новой пр€моугольной системе координат исследуема€ поверхность имеет уравнение

(19)

(более подробно переход от уравнени€ (1) к уравнению (19) будет обсуждатьс€ при исследовании общего уравнение квадрики, см. І18).

ј. ѕусть все три числа отличны от нул€. “огда по аналогии с предложением 1 из І14 можно построить преобразовани€ переноса такие, что уравнение (19) примет вид

. (20)

ј.1. ѕусть одинакового знака. »меютс€ три возможности.

ј.1а. ≈сли знак противоположен знаку , то уравнение (20) можно переписать в виде

(1) .

“.е. полученна€ поверхность €вл€етс€ эллипсоидом.

ј.1б. ≈сли знак совпадает со знаком , то (20) принимает вид

(2) Ц

Ц мнимый эллипсоид.

ј.1в. ≈сли , то (20) принимает вид

(3) .

Ётому уравнению удовлетвор€ет единственна€ точка, а именно нулева€ точка .

ј.2. ѕусть два из чисел имеют один знак, а третье Ц противоположный им знак.

ј.2а. ≈сли , то умножа€ на и переставл€€, если нужно, переменные, уравнение (20) можно привести к одному из следующих видов

(4) Ц

Ц однополостный гиперболоид,

(5) Ц

Ц двуполостный гиперболоид.

ј.2б. ≈сли , то (20) принимает вид:

(6) Ц

Ц уравнение конуса.

Ѕ. ѕусть одно равно нулю. Ѕудем считать, что . “огда переносом по и уравнение (19) приводитс€ к виду

. (21)

Ѕ.1. ≈сли , то после переноса по из (21) получаем

.

Ѕ.1а. ≈сли и имеют одинаковый знак то (замен€€ при необходимости на ) получаем

(7) Ц

Ц эллиптический параболоид.

Ѕ.1б. ≈сли и Ц разных знаков, то получаем

(8) Ц

Ц гиперболический параболоид.

Ѕ.2. ≈сли в (21) , то (21) €вл€етс€ цилиндрической поверхностью и возможны следующие случаи.

Ѕ.2а. имеют одинаковый знак, противоположный знаку :

(9) Ц

Ц эллиптический цилиндр.

Ѕ.2б. , имеют одинаковый знак:

(10) Ц

Ц мнимый эллиптический цилиндр.

Ѕ.2в. имеют одинаковый знак, :

(11) Ц

Ц пара мнимых пересекающихс€ плоскостей.

Ѕ.2г. и имеют различные знаки, :

(12) Ц

Ц гиперболический цилиндр.

Ѕ.2д. и имеют различные знаки, :

(13) Ц

Ц две пересекающиес€ плоскости.

¬. ѕусть , . “огда уравнение (19) после переноса по принимает вид:

. (22)

¬.1. ѕусть хот€ бы одно из не равно нулю. ¬ыполним поворот координатной системы вокруг оси на угол такой, что

,

где .

“огда новые координаты св€заны со старыми формулами

,

и уравнение (22) в новой системе координат принимает вид

.

ƒалее после переноса вдаль получаем уравнение вида

(14) Ц

Ц параболический цилиндр.

¬.2. ≈сли , то уравнение (22) имеет вид

и возможны следующие три случа€.

¬.2а. :

(15) Ц

Ц пара параллельных плоскостей.

¬.2б. :

(16) Ц

Ц пара мнимых параллельных плоскостей.

¬.2в. :

(17) Ц

Ц пара совпадающих плоскостей.



<== предыдуща€ лекци€ | следующа€ лекци€ ==>
ѕараллельный перенос системы координат | ѕоверхности
ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1650 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћучша€ месть Ц огромный успех. © ‘рэнк —инатра
==> читать все изречени€...

523 - | 498 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.105 с.