Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


VI.  оррел€ционный анализ




 

“ермин коррел€ции (лат. correlatio Чсоотношение, св€зь) впервые при≠менил ∆.  ювье в труде ЂЋекции по сравнительной анатомииї (1806г.). ј са≠мый метод коррел€ции вошел в науку из практических задач морфологии и генетики. ћатематические обосновани€ метода даны ќгюстом Ѕраве в 1846 го≠ду. ќднако Ѕраве (1811Ч1863) имел в виду Ђтеорию ошибок в плоскостиї, т. е. распространение закона ошибок √аусса на случаи двух переменных Y и X, и биологическими коррел€ци€ми не занималс€.

ѕервыми, кто использовал и развил метод коррел€ции, были √альтон и ѕирсон, занимавшиес€ изучением проблемы наследственности и изменчивости. — именем √альтона св€зано и введение термина коррел€ци€ в биометрию (1886г.).

 

 роме функциональной св€зи между переменными , существует веро€тностна€ (стохастическа€) св€зь между случайными величинами x и у. Ёта св€зь про€вл€етс€ в изменении закона распределени€ у при изменении распределени€ х. “ак, веро€тностна€ св€зь между случайными медико-биологическими параметра≠ми организма обнаруживаетс€ всегда, когда одни и те же случайные факторы (внешние услови€, внутрен≠ние патологические изменени€, раздражители и т. д.) вли€ют на эти исследуемые параметры.

¬ы€вление св€≠зей (коррел€ций) между различными случайными переменными и случайными процессами широко используетс€ в медицинской диагностике. — помощью корре≠л€ционного анализа решаютс€ задачи установлени€ обоснованного диагноза. ÷елью диагноза €вл€етс€ уста≠новление с высокой надежностью заболевани€ при определенных значени€х признаков (симптомов). ѕоэтому установление коррел€ций между различными показа≠тел€ми состо€ни€ больного и вли€ние их изменений на жизнеде€тельность организма €вл€етс€ важной задачей лабораторных и клинических исследований.

Ѕолее того; все системы, органы, ткани, клетки це≠лостного организма наход€тс€ в коррел€ционной св€зи друг с другом. Ѕлагодар€ различным формам коррел€≠ций (химических, нервных, морфофизиологических, эволюционных и др.) организм про€вл€етс€ как едина€ сложна€ целостна€ система.

“еори€ метода.

ѕусть в результате эксперимента получены случайные значени€ одновременно измер€емых величин X и Y. ¬ыборка состоит из значений х1; х2;, х3;...хп, а выборка из значений y1, у2, у3,...уn. ≈сли попарно нанести на плоскость точки, соответствующие (х) и (у) в первой, второй, п - й реализации, то они займут оп≠ределенную область, называемую коррел€ционным полем.

 ак правило, если между случайными величинами (x) и (у) существует св€зь, то коррел€ционное поле имеет вид эллипса со сгущением точек вокруг главной оси и с малым числом их на периферии (рис. 1).

 

–ис.1 –ис.2

 

≈сли св€зь выражена слабо, то разброс точек велик (рис. 2). ¬еличину св€зи можно
оценить, задав уравнение линии регрессии. Ёта лини€ проходит наиболее близко ко всем точкам коррел€ционного пол€.

ѕри коррел€ци€х между X и Y мерой рас≠се€ни€ могут служить выборочные стандартные отклонени€.

 

ѕростейшей характеристикой св€зи между слу≠чайными величинами (х) и (у) служит коэффициент ковариации , который может быть вычислен дл€ выборки из n реализаций, как

 

 оэффициентом коррел€ции называетс€ безразмерна€ величина

»ли

 

 оэффициент коррел€ции R количественно характеризует св€зь между случайными величинами или про≠цессами. ќн измен€етс€ от +1 до -1. ќтрицательные значени€ указывают на обратную зависимость между величинами (x) и (у) (возрастание одной при убывании другой). ѕр€ма€ св€зь между величинами существует при положительных значени€х коэффициента коррел€≠ции R.  оррел€ци€ будет полной при R = + 1 и от≠сутствует при R = 0. ѕрактически считаетс€, что при | R | < 0,4 св€зь отсутствует, при 0,4 <│ R │ < 0,7 имеетс€ слаба€ св€зь. “есна€ взаимосв€зь между случайными величинами или процессами (х) и (у) имеетс€ при 0,7 < │ R |<1.

¬ качестве критери€ близости точек коррел€ционного пол€ к линии регрессии может также приниматьс€ минимум суммы квадратов отклонений точек от этой линии, заданной в виде уравнени€:

у = ах + b

(см. ћетод наименьших квадратов)

—татистическа€ теори€ случайных величин и про≠цессов позвол€ет определить коэффициент Д а " и Д в " через , , , и коэффициент коррел€ции R:

¬ычислив (a) и (b), можно по уравнению у = ах + b получить пр€мую регрессии.

¬ыборочный коэффициент коррел€ции, €вл€€сь величиной случайной, подчин€етс€ закону нормального распределени€ √аусса. ƒл€ малых выборок (n < 100) используют распределение —тьюдента, его критерий определ€ют по формуле

ќн позвол€ет вычислить степень досто≠верности результата. ќбычно результат оцениваетс€ как достоверный, если веро€тность ошибки менее 5% (P оши6ки<0,05). ¬ычислив t и зна€ п, по таб≠лице —тьюдента можноопределить отибки.

ѕример 8

ѕолоскание с хлоргексидином предотвращает образо≠вание зубного налета. ‘. Ёшли и соавторы сравнили эффективность полоскани€. ”частники исследова≠ни€ полоскали рот, после чего зубной налет отдел€ли и взвешивали. Ќалет оценивали так же визуально по специально разработанной шкале. „то≠бы оценить точность визуальных оценок, их сравнивали с результатами взвешивани€. –езультаты представлены в табл.

є                    
—ухой вес зубного налета, м√ 2,7 1,2 2,7 2,1 3,5 2,8 3,7 8,9 5,8 4,0
¬изуальна€ оценка зубного налета, баллы                    

 

“ребуетс€ оценить степень коррел€ционной св€зи между исследованными параметрами и достоверность этой св€зи.

ƒл€ нагл€дности, нанесем экспериментальные данные в виде точек на график.

 

 

ƒл€ расчета коэффициента коррел€ции заполним табл.

 

є
    2.7 -34.60 -1.04 1.20e3 1.08 35,98
    1.2 -27.60 -2.54 761.76 6.45 70,10
    2.7 -14.60 -1.04 213.16 1.08 15,18
    2.1 0.40 -1.64 0.16 2.69 - 0,66
    3.5 0.40 -0.24 0.16 0.06 - 0,10
    2.8 5.40 -0.94 29.16 0.88 - 5,08
    3.7 8.40 -0.04 70.56 0.00 - 0,34
    8.9 18.40 5.16 338.56 26.63 94,94
    5.8 20.40 2.06 416.16 4.24 42,02
    4.0 23.40 0.26 547.56 0.07 6,08
—умма Σ   37,4     3577,24 43,18 258,12
—реднее значение =59,6 =3,74 ----- ------ ---------- ---------- ---------------------

 

 

»меетс€ тесна€ св€зь между исследованными параметрами. ќценим достоверность этой св€зи. ƒл€ этого определим коэффициент —тьюдента.

 

ѕо таблице (см. приложение 2) по рассчитанному коэффициенту —тьюдента определ€ем доверительную веро€тность – = 0, 96. “.е с веро€тность – = 0, 96 между исследованными параметрами существует тесна€ (R = 0,7) пр€ма€ (0 < R) коррел€ционна€ св€зь. ќбработав экспериментальные данные методом наименьших квадратов, получим пр€мую регрессии.

 

Ёта лини€ €вл€етс€ наилучшим усреднением экспериментальных точек.


 

ѕриложение 1

 

ќЅ–јЅќ“ ј –≈«”Ћ№“ј“ќ¬ »«ћ≈–≈Ќ»я Ќј ќ—Ќќ¬≈ «ј ќЌј √”ј——ј

 

“очечные оценки математического ожидани€ и дисперсии.

ѕусть истинное значение измер€емой величины - X, а x12,..., хn - р€д еЄ отсчетов. ѕусть наблюдаемые значени€ имеют нормальное распределение с математическим ожиданием µ, совпадающим с истинным значением, и неко≠торой дисперсией σ 2. ¬еро€тность того, что все отсчеты попадут в бесконечно малый интервал

по теореме умножени€ веро€тностей рав≠на произведению веро€тностей того, что каждый отсчет попадет в этот интервал

„ем больше –, тем с большей веро€тность наблюдаемые значени€ группируютс€ вокруг истинного значени€. ‘ункци€ с аргументами называетс€ правдоподобием эксперимента.

Ќайдем, при какой св€зи с отсчетами x1, х2,Е.., xn правдоподо≠бие максимально. ѕри исследовании функции на экстремум удобно исполь≠зовать не саму функцию, а ее логарифм.

.ѕри фиксированном значении максимум L достигаетс€ при т.е.

»з последнего уравнени€ находим:

—ледовательно, выборочное среднее значение есть максимально правдоподобна€ оценка истинного значени€ измер€емой величины.

 

ѕри фиксированном аргументе значение , дающее максимум , можно найти из уравнени€:

или

 

“огда

—ледовательно, максимально правдоподобна€ оценка стандарт≠ного квадратического отклонени€ равна выборочному среднему квадратическому отклонению отсчетов от истинного значени€.

“ак как в процессе измерений истинное значение неизвестно, то полученна€ формула не пригодна дл€ расчета погрешности. ¬ыразим через

 

 

¬ этом выражении второе слагаемое равно нулю. –ассмотрим третье слагаемое.

¬торое слагаемое полученного выражени€ равно нулю при , т.к. отклонение наблюдаемых значений от истинного встречаютс€ с разными значени€ми одинаково часто. —ледовательно

 

¬еличина

называетс€ выборочным средним квадратическим отклонением оди≠ночного наблюдени€, котороев пределе дает максимально правдо≠подобнуюоценку стандартного квадратического отклонени€:

ѕри конечном значении

¬ыборочное среднее €вл€етс€ суммой N нормально распределенных слу≠чайных величин, имеющих одинаковую дисперсию. ќно представл€ет случай≠ную величину с дисперсией в N раз меньшей, чем дисперси€ слагаемых. ѕо≠этому выборочное среднее квадратическое отклонение среднего в раз меньше чем т.е.

 

 

ѕриложение 2

“аблица параметров распределени€ —тъюдента

при 8 степен€х свободы (m = 8)

t - коэффициент —тъюдента – - веро€тность

 

t t t t t
3.355 0.99 1.508 0.83 1.037 0.67 0.723 0.51 0.471 0.35
2.896 0.98 1.469 0.82 1.015 0.66 0.706 0.50 0.457 0.34
2.634 0.97 1.432 0.81 0.993 0.65 0.690 0.49 0.442 0.33
2.449 0.96 1.397 0.80 0.971 0.64 0.673 0.48 0.428 0.32
2.306 0.95 1.363 0.79 0.950 0.63 0.656 0.47 0.414 0.31
2.189 0.94 1.331 0.78 0.929 0.62 0.640 0.46 0.399 0.30
2.090 0.93 1.299 0.77 0.909 0.61 0.624 0.45 0.385 0.29
2.004 0.92 1.269 0.76 0.889 0.60 0.608 0.44 0.371 0.28
1.928 0.91 1.240 0.75 0.869 0.59 0.592 0.43 0.357 0.27
1.860 0.90 1.212 0.74 0.850 0.58 0.577 0.42 0.344 0.26
1.797 0.89 1.185 0.73 0.831 0.57 0.561 0.41 0.330 0.25
1.740 0.88 1.159 0.72 0.813 0.56 0.546 0.40 0.316 0.24
1.687 0.87 1.133 0.71 0.794 0.55 0.531 0.39 0.302 0.23
1.638 0.86 1.108 0.70 0.776 0.54 0.516 0.38 0.289 0.22
1.592 0.85 1.084 0.69 0.758 0.53 0.501 0.37 0.275 0.21
1.549 0.84 1.060 0.68 0.741 0.52 0.486 0.36 0.262 0.20

 

 

 оэффициенты —тьюдента при различных степен€х свободы (m)

 

  ¬еро€тность
є 0,5 0,9 0,95 0,98 0,99 0,999
    6,3 12,7 31,8 63,7 636,6
  0,82 2,9 4,32 7,0 9,9 31,6
  0,77 2,4 3,21 4,5 5,8 12,9
  0,74 2,1 2,78 3,7 4,6 8,6
  0,73 2,0 2,61 3,4 4,0 6,9
  0,72 1,9 2,42 3,1 3,7 6,0
  0,71 1,9 2,42 3,0 3,5 5,4
  0,71 1,9 2,31 2,9 3,4 5,0
  0,70 1,8 2,30 2,8 3,2 4,8
  0,69 1,7 2,11 2,5 2,8 3,8
  0,67 1,6 2,02 2,5 2,8 3,3

 

Ћитература

 

1. амке ƒ.,  ремер  ., ‘изические основы единиц измерени€. ћ., ћир, 1980

2.„ертов ј.√., ‘изические величины. ћ., ¬ысша€ школа, 1990

3.ћеждународный стандарт »—ќ 31/0

4.«айдель ј.Ќ., ќшибки измерений физических величин, ћ., Ќаука 1974

5.“ейлор ƒ., ¬ведение в теорию ошибок, ћ., ћир, 1985

6.Ћакин √.‘., Ѕиометри€. ћ., ¬ысша€ школа,1990

7.√ланц √, ћедико-биологическа€ статистика, ћ.ѕрактика, 1999

 

 

—одержание —тр.

 

 

1. ѕогрешности измеренийЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ..4 - 15

 

2. √рафическое представление результатов измеренийЕЕ...15 - 20.

 

3. ћетод наименьших квадратовЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ...20 - 24

 

4.  оррел€ционный анализ ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ....25 - 29

 

5. ѕриложениеЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ.30 - 31

 

6. ЋитератураЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ..32

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1340 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—воим успехом € об€зана тому, что никогда не оправдывалась и не принимала оправданий от других. © ‘лоренс Ќайтингейл
==> читать все изречени€...

2170 - | 1986 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.064 с.