Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћосква, 2009




¬ысшего профессионального образовани€

Ђћосковский государственный медико-

стоматологический университетї

‘едерального агентства по здравоохранению

» социальному обеспечению

 ј‘≈ƒ–ј ћ≈ƒ»÷»Ќ— ќ… » Ѕ»ќЋќ√»„≈— ќ… ‘»«» »

¬.—. ¬оеводский, ¬.ћ.√оворун

 

ћатематическа€ обработка результатов измерений.

”чебное пособие дл€ студентов стоматологического факультета

 

 

 

 

ћосква, 2009

√осударственное образовательное учреждение

¬ысшего профессионального образовани€

Ђћосковский государственный медико-

стоматологический университетї

‘едерального агентства по здравоохранению

» социальному обеспечению

 ј‘≈ƒ–ј ћ≈ƒ»÷»Ќ— ќ… » Ѕ»ќЋќ√»„≈— ќ… ‘»«» »

¬.—. ¬оеводский, ¬.ћ.√оворун

 

 

ћатематическа€ обработка результатов измерений.

”чебное пособие дл€ студентов стоматологического факультета

 

 

ћосква, 2009

 

ЅЅ  22.3 € 73

—88

”ƒ  53 (075.8)

 

–ецензенты:

 

ј.—.Ѕерл€нд - профессор зав. кафедры общей и биоорганической химии

ћ√ћ—” доктор фарм. наук.

—.ј.¬ознесенский - доцент кафедры медицинской и биологической физики

ћћј им. ».ћ.—еченова, кандидат физ. - мат. наук.

—88 ¬.—.¬оеводский, ¬.ћ.√оворун.

ћатематическа€ обработка результатов измерений.

”чебное пособие.

ћ.: ћ√ћ—”, 2009, 30c.

 

 

¬ представленном методическом пособии рассмотрены вопросы обработки экспериментальных данных, с которыми сталкиваютс€ студенты при проведении лабораторных и практических зан€тий. ¬ частности рассмотрены вопросы возникновени€ приборных, случайных и грубых погрешностей. Ќа конкретных примерах привод€тс€ методы оценки этих погрешностей.

–ассмотрены вопросы, возникающие при пр€мых и косвенных измерени€х.

«начительна€ часть пособи€ посв€щена графическим методам представлени€ данных. Ќа примерах из медицинской практики проиллюстрированы, как метод наименьших квадратов, примен€емый дл€ обработки экспериментальных данных, так и основы коррел€ционного анализа.

 

 

»здаетс€ по решению ”ченого совета ћ√ћ—”

(ѕротокол є8 от 27 ма€ 2008г.)

 

ЅЅ  22.3 € 73

 

© ћ√ћ—”, 2009

©  афедра медицинской и биологической физики ћ√ћ—”, 2009

© ¬ладимир —ергеевич ¬оеводский,

¬адим ћаркович √оворун. 2009

 

I.ѕогрешности измерений

 

¬ повседневной жизни мы непрерывно сталкиваемс€ с необходимостью, что - то измерить.

»змерить - значит сравнить интересующую нас величину с эталоном этой величины. »сторически были установлены некоторые эталоны, например, метр, килограмм, секунда. »з установленных эталонов образуютс€ системы единиц. ¬ используемой в насто€щее врем€ системе единиц —» такими эталонами €вл€ютс€ метр, секунда, килограмм, градус  ельвина, сила тока ампер, сила света кандела, единица количества вещества моль и единицы измерени€ углов радиан и стерадиан.

—ледовательно, если мы, например, измер€ем линейные размеры тела, то мы тем самым устанавливаем, сколько кратных долей эталона длины метра содержитс€ в интересующем нас теле. “о же самое относитс€ и к измерению массы, времени, других величин.

Ќо любые измерени€ всегда св€заны с некоторыми ошибками или погрешност€ми.

—праведлива поговорка: УЌе ошибаетс€ только тот, кто ничего не делаетї. —ледовательно, Ђабсолютно точної ничего измерить в принципе невозможно. ќтсюда возникают две основные задачи:

а) измер€ть как можно точнее,

б) уметь оценить погрешность, которую мы при измерени€х неизбежно совершаем.

√овор€т о погрешност€х пр€мых и косвенных измерений. —трого говор€, косвенных измерений не существует. »меетс€ в виду, что интересующа€ нас величина не измер€етс€ напр€мую, а рассчитываетс€ по соответствующим математическим формулам. Ќапример, при определении объема шара напр€мую измер€етс€ его диаметр, а объем рассчитываетс€ по известной формуле. “ем самым, объем шара определ€етс€ с некоторой погрешностью, которую и называют погрешностью косвенного измерени€.

Ќеизбежно совершаемые при измерени€х ошибки или погрешности прин€то раздел€ть на систематические, приборные и случайные.

 

—истематические погрешности чаще всего св€зывают c техническим несовершенством самого измерительного устройства. Ќапример, Ђпортн€жный сантиметрї может в течение длительной эксплуатации немного выт€нутьс€. ѕри этом в дальнейшем при его использовании будет совершатьс€ систематическа€ ошибка, привод€ща€ к уменьшению реальных размеров измер€емых тел. „асы, посто€нно спешащие или отстающие, так же привод€т к систематическим погрешност€м. —истематические погрешности не столь принципиальны, так как могут быть всегда учтены. «на€, что часы спешат или отстают можно всегда скорректировать врем€.

 

1. — приборными погрешност€ми дело обстоит сложнее. Ёти погрешности присуще самому измерительному устройству (качеству его изготовлени€ или заложенному в нем принципу измерени€). јналоговые приборы характеризуютс€ ценой делени€, а цифровые разр€дность отображаемых на экранах величин. ÷ена делени€ Ц это наименьша€ величина, котора€ может быть измерена данным прибором. —трого говор€, Ђна глазї, можно всегда установить ближе к какому делению, например, расположена стрелка измерительного прибора. ѕоэтому прин€то считать, что приборна€ погрешность равна половине цены делени€ измерительного устройства. –ис.1

 

 

јналоговые измерительные устройства характеризуютс€ классом точности, который указываетс€ на их шкале.  ласс точности выражаетс€ в процентах и дает возможность рассчитать погрешность прибора. ƒл€ этого надо предельную величину, измер€емую данным прибором умножить на его класс точности. ≈диница делени€ шкалы наноситс€ исход€ из этих соображений. —ледует иметь в виду, что дл€ обеспечени€ большей точности измерений, надо стремитьс€ работать на приборе так, чтобы отклонении стрелки было наибольшим. Ќеобходимо помнить, что приборные погрешности определ€ют максимальную точность измерений. »змерить точнее, чем точность измерительного прибора невозможно.

2. —лучайные погрешности уже по своему названию подчеркивают случайность получаемых результатов. Ёти погрешности нос€т веро€тностный характер. ќни поддаютс€ математической обработке, в основе которой лежит теори€ веро€тности.

ќсновна€ особенность случайных погрешностей (в отличие от систематических) заключаетс€ в том, что они встречаютс€ как в сторону занижени€, так и завышени€ результатов измерений, причем примерно с равной веро€тностью. ¬тора€ отличительна€ их особенность заключаетс€ в том, что чем больше погрешность, тем меньше ее веро€тность. Ѕолее веро€тно, что мы меньше ошибаемс€.

ѕример 1

Ѕыло проведено 25 измерений некоторой величины. –езультаты представлены на рис.2

 

 

–ис.2

 

»з рисунка видно, что, например, значение ’ = 20 было получено при 5 измерени€х, значени€ ’ = 13 и ’ = 27, значительно отличающиес€ от ’ = 20, были получены только в одном измерении.

—лучайные погрешности подчин€ютс€ закону нормального распределени€, или закону √аусса.

»ногда говор€т еще о грубых ошибках или промахах (Ђполученный результат не лезет ни в какие воротаї). ќ вы€влении их мы поговорим позже.

» так, подытожим:

1.ƒл€ борьбы с систематическими погрешност€ми надо измерительное устройство либо

отремонтировать, либо заменить.

2.ƒл€ борьбы с приборными погрешност€ми надо вз€ть более точные приборы (повысить

класс точности прибора).

3.ƒл€ борьбы со случайными и грубыми погрешност€ми надо научитьс€ их математически

обрабатывать.

ѕредположим, что устранены систематические и грубые погрешности, тогда обща€ погрешность складываетс€ из приборной и случайной. ќчевидно, что результат будет зависеть от их соотношени€. ≈сли приборна€ погрешность на много больше случайной, то случайной погрешностью можно пренебречь и наоборот. Ќа практике под Ђна много большеї имеетс€ в виду в 5 раз. ≈сли это соотношение меньше, то необходимо учитывать и ту и другую погрешности.

 

ѕример 2.

ѕри 5 измерени€х диаметра шарика штангенциркулем (рис.3)

–ис.3

были получены одинаковые значени€ диаметра D = 21,70мм. “ак как получены одинаковые значени€, говорить о случайной погрешности бессмысленно. ќбща€ погрешность будет равна приборной и в нашем случае, учитыва€, что цена делени€ штангенциркул€ равна 0,1мм, приборна€ погрешность будет равна 0,05мм (половине цены делени€).

“аким образом, если в серии измерений получаетс€ одинаковый результат, то обща€ погрешность измерений равна половине цены делени€ измерительного инструмента.

≈сли в серии измерений получаютс€ различные результаты, то необходимо оценить случайную погрешность и сопоставить ее с приборной.

3.ќценка случайной погрешности.

ѕусть в серии измерений получен р€д значений измер€емой величины. »змер€емую величину будем обозначать ’, а ее численные значени€ {x1, x2, x3, Е..x n}. Ѕудем это называть выборкой.

Ќаиболее близким к истинному (никогда неизвестному) значению €вл€етс€ среднее выборочное значение. (см. приложение 1)

(1)

Ќо эта величина не определ€ет разброс случайной величины около среднего значени€. ƒл€ характеристики разброса ввод€тс€, так называемые, остаточные разности, характеризующие отклонение результата отдельных измерений от среднего выборочного значени€

¬ среднем величину этого разброса можно было бы определить как среднее значение остаточных разностей.

(2)

ќднако, как не трудно показать, эта величина равна нулю и не может характеризовать разброс.

(3)

ѕолученное равенство полезно использовать дл€ проверки вычислени€ среднего значени€. ≈сли при его вычислении не допущено арифметических ошибок, то сумма остаточных разностей должна быть равна нулю или, с учетом округлени€, незначительно отличатьс€ от него.

„тобы избежать нулевого результата, остаточные разности возвод€тс€ в квадрат и усредн€ютс€.

ѕолученна€ при этом величина носит название выборочной дисперсии.

(4)

–азмерность дисперсии равна квадрату размерности измер€емой величины. Ёто не дает возможности ни складывать, ни вычитать ее из измер€емой величины. ѕоэтому, извлека€ из нее квадратный корень, ввод€т выборочное стандартное отклонение.

(5)

ѕо€вление в знаменател€х у последних формул вместо строго доказываетс€ в теории ошибок (см. приложение1). ќднако обосновать это можно следующим образом. ѕредположим, что мы сделали только одно измерение. ѕон€тно, что при этом ничего нельз€ сказать о разбросе. Ёто же следует и из выражени€ (5). ƒействительно, подставл€€ в это выражение = 1, получаем неопределенность (деление 0 на 0). ≈сли бы в знаменателе (5) вместо сто€ло , то разброс получалс€ бы точно равным 0, что бессмысленно.

ѕровод€ серии измерений одной и той же интересующей нас величины, получим различные выборочные средние значени€ и различные выборочные стандартные отклонени€ . ƒл€ оценки точности выборочных оценок используют стандартную ошибку среднего. ќна позвол€ет оценить точность, с которой выборочное среднее характеризует общее среднее значение и носит название стандартной ошибки среднего.

(6)

„ем больше сделано измерений, тем точнее оценка среднего и тем меньше его стандартна€ ошибка.

Ќикогда не следует путать выборочное стандартное отклонение отдельной серии измерений со стандартной ошибкой общего среднего .

≈сли при наличии только приборной погрешности мы практически всегда можем указать интервал, в пределах которого наверн€ка находитс€ истинное значение измер€емой величины, то при наличии случайной погрешности такой интервал абсолютно точно указать невозможно.  ак было отмечено выше, предполагаетс€, что случайные погрешности распределены по нормальному закону (закону √аусса). —огласно этому закону величина характеризует отклонение от истинного лишь с некоторой веро€тностью.

¬вод€т пон€тие доверительной веро€тности P и доверительного интервала. ƒоверительна€ веро€тность Ц это веро€тность того, что истинное значение измер€емой величины лежит в некотором заданном доверительном интервале. Ќа практике либо определ€ют доверительную веро€тность при заданном доверительном интервале, либо на оборот, определ€ют доверительный интервал при заданной доверительной веро€тности.  роме доверительной веро€тности используют Ђпротивоположное пон€тиеї уровень значимости или веро€тность ошибки . ¬ медицинских исследовани€х чаще всего задаетс€ доверительна€ веро€тность P = 0, 95, что соответствует уровню значимости

0, 05.

Ќормальный закон распределени€ √аусса дает возможность определить доверительную веро€тность и доверительный интервал при достаточно большом числе измерений ().

Ќа практике чаще провод€т меньшее число измерений. ¬ этом случае примен€ют распределение —тьюдента. Ёто распределение при () практически совпадает с нормальным распределением √аусса. –аспределение —тьюдента дает возможность определить, так называемый, коэффициент —тьюдента Ц некоторое число, на которое нужно умножить стандартную ошибку среднего , чтобы получить полуширину доверительного интервала. »ндекс в коэффициенте —тьюдента соответствует заданному уровню значимости, а индекс - числу измерений.  оэффициенты —тьюдента наход€т с помощью соответствующих таблиц (см. приложение 2). “аким образом, найд€ по таблице коэффициент —тьюдента, при заданных: уровне значимости α и числу проведенных измерений n, и, рассчитав стандартную ошибку среднего , определ€ем полуширину доверительного интервала

∆X ин = . (7)

ќценку точности измерений прин€то характеризовать относительной погрешностью

δ = . ≈е иногда выражают в процентах.

ќкончательна€ запись результата измерений должна иметь вид:

; ; P; δ (8)

√де указаны:

1.среднее значение - ;

2.полуширина доверительного интервала - ;

3.единицы измерени€ - ;

4.доверительна€ веро€тность - P;

5.относительна€ погрешность - δ.

“.е. мы не можем наверн€ка, а лишь с некоторой веро€тностью утверждать, что истинное значение измер€емой величины лежит в интервале .

Ќапомним еще раз, что така€ запись результата справедлива в том случае, когда приборной погрешностью можно пренебречь.

ѕример 3.

¬ результате проведени€ эксперимента были получены 9 экспериментальных данных:

X 1 = 42,61; x 2 = 44,29; x 3 = 43,18; x4 = 43,93; x5 = 46,70; x6 = 46,45; x 7 = 44,40; x 8 = 41,76; x9 = 46,21

Ќе трудно видеть, что приборна€ погрешность(0,005) более чем в 5 раз меньше случайной погрешности. —ледовательно, приборную погрешность в этом случае можно не учитывать. ƒл€ оценки случайной погрешности составим следующую табл1

N                  
42.61 44.29 43.18 43.93 46.70 46.45 44.40 41.76 46.21 399.549 44.394
3.179 0.011 1.464 0.215 5.336 4.22 3.855E-5 6.922 3.312 24.659  

 

ѕо данным табл.1 рассчитаем выборочное стандартное отклонение

 

(9)

ƒействительно убеждаемс€, что S много больше приборной погрешности.

ѕусть в рассматриваемом примере задана доверительна€ веро€тность – = 0,95; ()

α = 0,05 и требуетс€ найти доверительный интервал. ѕри заданном уровне значимости α = 0,05 и числу измерений n = 9 по табл. (см. приложение 2) находим коэффициент —тьюдента . Ќайд€ стандартную ошибку среднего = , определ€ем полуширину доверительного интервала.

(10)

 

ѕогрешности обычно выражаютс€ одной значащей цифрой и лишь в особо ответственных измерени€х двум€. —реднее значение округл€етс€ до цифры, разр€д которой равен разр€ду значащей цифры погрешности (ноль не €вл€етс€ значащей цифрой). ≈сли отбрасываема€ цифра старшего разр€да меньше 5, то оставшиес€ цифры не измен€ютс€. ≈сли указанна€ цифра больше или равна 5, то последн€€ оставша€с€ цифра увеличиваетс€ на 1. ќкругление погрешностей проводитс€ по иному. ≈сли округл€ть погрешности так же, как округл€ют средние значени€, то самопроизвольно возможно уменьшение реальной погрешности. Ќапример, погрешность, рассчитанна€ по выражению (10), оказалась равной . ќкругл€€ ее, как округл€ют средние значени€, получим . “.е. мы самопроизвольно уменьшили реальный доверительный интервал. ѕоэтому, если отбрасываема€ цифра больше или равна 3, то последн€€ оставл€ема€ цифра увеличиваетс€ на 1 (лучше недооценить точность измерений, чем переоценить их).

¬ нашем случае окончательный результат должен быть записан так:

; P = 0,95 ( 0,05); δ =3%

¬идоизменим рассматриваемый пример.

ѕусть теперь при заданной другой полуширине доверительного интервала ∆X ин = 0,48 надо определить доверительную веро€тность .

»з выражени€ (7) определ€ем коэффициент —тьюдента t α.9 = 0,82. ѕо той же табл.

(см. приложение 2) находим доверительную веро€тность = 0,56.

ќкончательный результат при этом будет выгл€деть так:

X = 44, 4 ± 0, 5 P = 0, 56 ( 0, 44); δ = 1%

ќбратите внимание: значени€ и должны быть записаны с одинаковой точностью.

ѕример 4.

ќкругление результатов измерений.

 

  «апись после округлени€
123357 ± 678 123400 ±700
237,46 ± 0,13 237, 5 ± 0,2
0,00283 ± 0,00034 0,0028 ± 0,0004
1,045 ± 0,000003 1,045000 ± 0,000003
359623 ± 307 359600 ± 300
0,0000047 ± 0,0000098 0,00005 ± 0,00001
589 ± 0,69 589,0 ± 0,7

≈ще видоизменим пример.

ѕусть заданы и доверительна€ веро€тность = 0,98 и полуширина доверительного интервала . “ребуетс€ определить, сколько надо сделать измерений, чтобы при заданной доверительной веро€тности истинное значение случайной величины находилось в заданном доверительном интервале.

ѕо табл. (см. приложение 2) при доверительной веро€тности = 0,98 находим значение коэффициента —тьюдента t 0,02;9 = 2,90 и из выражени€ находим n = 72.

≈сли такое число измерений проделать невозможно, то надо изменить методику измерений с целью уменьшени€ разбросов результатов отдельных измерений.

Ќапомним еще раз, что в этом примере мы не учитывали приборную погрешность, так как она была на много меньше случайной. Ќо если приборна€ погрешность соизмерима со случайной (различаютс€ менее чем в 5 раз), то обща€ погрешность будет складыватьс€ из приборной и случайной. ¬ теории погрешности (см. приложение 1) доказываетс€, что сложение при этом будет не простое (арифметическое), а, так называемое, Ђквадратическоеї.

 

или: (11)

¬ р€де случаев, когда не требуетс€ больша€ точность, (например, в лабораторных работах) в цел€х упрощени€, примен€ют простое арифметическое сложение случайной и приборной погрешностей, называ€ такую предельной погрешностью.

(12)

ѕон€тно, что она всегда будет несколько больше Ђквадратическойї.

ѕример 5

¬ результате проведени€ эксперимента были получены 9 экспериментальных данных, представленные в таблице (перва€ строка).  ак видно, приборна€ погрешность равна 0, 05. ќценим случайную погрешность.

 

N                  
45.40 45.20 45.00 44.60 44.80 44.70 44.90 45.50 45.10 405.153 45.017
0.136 0.018 1.298E-4 0.159 0.049 0.125 6.912E-3 0.242 5.36E-3 0.742  

 

= = 0,102

 

ѕусть в рассматриваемом примере задана та же доверительна€ веро€тность – = 0,95; ()

α = 0,05 и требуетс€ найти доверительный интервал. ѕри заданном уровне значимости α = 0,05 и числу измерений n = 9 по табл. (см. приложение 2) находим коэффициент —тьюдента . Ќайд€ стандартную ошибку среднего = , определ€ем полуширину доверительного интервала.

ќтношение , что меньше 5, и необходимо учитывать и приборную и случайную погрешности. ѕроведем эту оценку. ѕо выражению (11) она равна:

;

— учетом округлени€ ;

ѕо выражению (12) предельна€ погрешность будет равна:

— учетом округлени€

¬ первом случае запись окончательного результата будет выгл€деть так:

X = 45, 0 ± 0, 3; P = 0, 95; δ = 0, 5%

¬о втором случае:

X = 45, 0 ± 0, 3; P = 0, 95; δ = 0, 6%

 ак видим, окончательные результаты измерений отличаютс€ всего на 0,1%

 

4. ѕогрешности косвенных измерений.

ѕри косвенных измерени€х, интересующа€ нас величина рассчитываетс€ по математическим формулам, т.е., она €вл€етс€ функцией от соответствующих аргументов, которые непосредственно измер€ютс€ в ходе проведени€ эксперимента. ¬ основе лежит представление о том, что приращение функции приблизительно равно ее дифференциалу.

∆y ≈ d y

“.е. нахождение погрешности косвенных измерений сводитс€ к нахождению дифференциала функции. ƒл€ функции одной переменной это не представл€ет трудности, однако дл€ функции двух и более переменных несколько усложн€етс€.

¬ качестве примера определим погрешность при определении объема шара. Ќаиболее просто измерить диаметр шара, а его объем рассчитать по известной формуле.

(13)

»змер€€ диаметр, мы совершаем ошибку и, следовательно, объем шара будет содержать погрешность. ќбъем шара есть функци€ его диаметра. Ќапомним, что дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента.

d V = d D

 

Ќайдем производную = , тогда d V = d D

»ли, предполага€, d D = ∆D; d V = ∆V имеем: ∆V =

 

¬ общем случае, в погрешность ∆V вход€т приборна€ и случайна€ погрешности. Ёти погрешности мы уже научились оценивать. ѕусть измерение диаметра шара проводилось с помощью штангенциркул€ 6 раз и получены одинаковые значени€ D = 21,70 мм (рис.2)

(т.е. случайные погрешности можно не учитывать). ќбъем шара при этом

V = 5347,584 мм 3. ѕриборна€ погрешность равна 0,05мм (половина цены делени€).

D = (21, 70 ± 0, 05), мм

“аким образом, косвенна€ погрешность в определении объема шара будет равна

∆V = ∆V = 36,96 [мм3]

ќтносительна€ погрешность или точность измерени€ при этом равна

или 0,7%, что €вл€етс€ достаточно точным измерением.

ќкончательно, с учетом округлени€, получим:

 

V = (5350 ± 40) мм 3; δ= 0, 7 %

¬ случае функции двух и более переменных полный дифференциал выражаетс€ через частные производные.

Z = Z(x, y)

 

DZ =

 

¬ыражени€ получаютс€ очень громоздкими. ќднако существует метод, позвол€ющий существенно упростить вычислени€. ¬место того чтобы искать абсолютную погрешность наход€т сначала относительную. ƒл€ этого заданную зависимость сначала логарифмируют, а затем полученное выражение дифференцируют. ѕусть Z = X*Y тогда

или дл€ конечных приращений . јбсолютную погрешность наход€т, умножа€ найденную относительную, на Z. .

–ассмотрим это на примере конкретной лабораторной работы.

Ђќпределение коэффициента поверхностного нат€жени€ жидкостиї.

¬ этой работе измер€ют силу отрыва кольца и его диаметр. ¬ыражение дл€ определени€ коэффициента поверхностного нат€жени€ имеет вид:

(14)

ƒл€ измерени€ силы в лаб. работе используютс€ торсионные весы, позвол€ющие определ€ть силу с точностью в 1 м√ (приборна€ погрешность). ѕровед€ 5 измерений силы, получим разброс значений сил, существенно превосход€щий приборную погрешность. ќценку случайной погрешности в измерении силы при заданной доверительной веро€тности (– = 0,95) проведем рассмотренным ранее способом.

 

є измерений           Σ —реднее значение
F, м√             404,4
(∆F)2,(м√)2 243,36 31,36 207,36 19,36 5,76 507,2  

 

 

ѕри заданной доверительной веро€тности – = 0, 95 и числу измерений n = 5 находим по таблице (см. приложение 2) коэффициент —тьюдента .

 

 

Ќаходим ∆ F = 2,78*5,04 = 14,01 м√

 

ѕолученный результат будет выгл€деть так:

 

 

F= (404,4 ± 14,01), м√; – = 0, 95;

»ли, с учетом округлени€

F= (400 ± 20), м√; – = 0, 95; ,

 

»змерени€ диаметра кольца проводились с помощью штангенциркул€. ѕолучены одинаковые значени€ D = 10,25 ± 0,05[мм] (приборна€ погрешность равна 0,05, случайной - пренебрегаем)

6,37 [м√/мм] = 62,43 [мЌ/м]; (1м√=9,8 10 - 6 Ќ)

 

ѕрологарифмируем выражение (14)

ѕолученное выражение продифференцируем.

 

ƒифференциалы Ђ заменим на конечные приращени€ Ђ∆ї и знаки минус перед Ђ∆ї на плюс.

62,43 * 0,055 = 3,4

δ = = 6 %

ќкончательный результат с учетом округлени€:

α = (62 ± 4), мЌ/м; – = 0, 95; δα = 6%

 

“аким образом, дл€ оценки погрешности результата косвенного измерени€, необходимо:

1.«аданное выражение прологарифмировать.

2.ѕолученное выражение продифференцировать.

3. ƒифференциалы Ђ заменить конечными приращени€ Ђ∆ї. Ёти приращени€

задаютс€ либо приборной погрешностью, либо в результате обработки случайных

погрешностей.

4.ѕеред всеми приращени€ми Ђ∆ї знаки минус заменить плюсом.

5. ѕолученную относительную погрешность δ умножаем на среднее значение и получаем

абсолютную погрешность Ђ∆ї.

6.«аписываем окончательный результат измерений с учетом округлени€.

 

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 668 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

¬ы никогда не пересечете океан, если не наберетесь мужества потер€ть берег из виду. © ’ристофор  олумб
==> читать все изречени€...

2095 - | 1922 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.17 с.