Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


II. Графическое представление результатов измерений




В ряде случаев для большей наглядности, экспериментальные данные целесообразно представлять графически в виде точек или линий. Такие графики позволяют быстро распознать характер исследуемых зависимостей, а в ряде случаев позволяют даже установить вид исследуемых зависимостей.

Приведем общие рекомендации для построения графиков.

 

1.Для графиков используется миллиметровая бумага с линейным масштабом.

2. Масштаб для построения графиков выбирается исходя из следующих соображений:

а) экспериментальные точки не должны сливаться

б) графики, близкие к прямым линиях, должны располагаться, примерно, под углом

45 градусов к осям координат

в) следует использовать либо десятичный масштаб (0,1; 1;10;100 и т.д. единиц

измеряемой величины в 1 см.), либо масштабы 2:1 или 5:1.

г) начало координат (X = 0,Y= 0) не обязательно должно присутствовать на графике.

д) снизу или справа от оси абсцисс, слева или сверху от оси ординат следует указать

название или (и) обозначение физической величины и через запятую- единицу

измерения, относя сюда и возможный десятичный множитель. Благодаря последнему,

масштабные деления на осях помечаются, как правило, не более чем трехзначными

числами.

3. При построении графиков следует придерживаться следующих правил:

а) первоначальную разметку масштаба и нанесение экспериментальных точек выполнять

мягким карандашом и лишь окончательно чернилами.

б) если на одном графике необходимо сравнить несколько экспериментальных

зависимостей, то следует пользоваться разными обозначениями для точек,

относящихся к разным величинам (например, и т.д.) можно использовать так

же разные цвета.

в) при сравнении экспериментальной и теоретической зависимостей теоретическую

кривую следует построить по произвольно выбранным точкам, а экспериментальную

кривую лучше не строить, указать отрезками при каждой точке величины

погрешностей.

г) не соединять экспериментальные точки ломаной линией. Наилучшую плавную кривую

следует провести с помощью лекал.

д) наиболее удобны для зрительного восприятия прямолинейные графики. Поэтому, если

есть возможность, следует преобразовать исследуемую зависимость в линейную и

изображать на графике зависимость между теми величинами, между которыми связь

линейная. Например, экспоненциальные зависимости или логарифмические

удобно представлять в полулогарифмических координатах, а степенные -

в логарифмических координатах.

Необходимо хорошо представлять себе, что физические формулы записываются не для физических величин, а для их численных значений. Другими словами, эти формулы представляют собой численные равенства.

Согласно Международному стандарту ИСО 31/0 (Общее положение к ИСО 31), аргументами показательных и логарифмических функций должны быть или безразмерные величины или числовые значения величин.

 

В качестве примера, рассмотрим представление экспериментальных данных, полученных в результате исследования зависимости вязкости крови от показателя гематокрита (данные взяты из монографии «Механика кровообращения» авт. К. Каро,

Т. Педли д.р.)

 

 

Показатель гематокрита, H 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Вязкость крови, η [Па*с] 0,028 0,080 0,229 0,653 1,867 5,336 15,250 43,579
Ln(η) -3,58 -2,53 -1,48 -0,43 0,63 1,68 2,73 3,78

 

По оси абсцисс откладываем показатель гематокрита H, а по оси ординат соответствующую этим значениям вязкость крови.

Нанесенные точки указывают на криволинейную зависимость. График получается очень не наглядным, и сделать какие либо предположения о характере зависимости практически невозможно

Добавим нашу таблицу строкой Ln(η) и перестроим график в полулогарифмических координатах, откладывая по оси ординат не вязкость, а численное значение логарифма вязкости.

 

 

Экспериментальные точки теперь хорошо укладываются на прямую линию, что дает возможность предположить о наличии экспоненциальной зависимости коэффициента вязкости от показателя гематокрита.

η = η0 exp(αH).

Более того, по графику, экстраполируя прямую до пересечения с осью ординат можно определить вязкость при нулевом гематокрите, т.е. вязкость плазмы крови: η0 = 0,0012 Па*с Тангенс угла наклона прямой дает возможность определить показатель степени экспоненты

Окончательно имеем:

, Па*с η = 0,0012 exp(10,4H), Па*с

Пример 6

В той же монографии представлены данные зависимости коэффициента вязкости крови η от скорости сдвига

 

Скорость сдвига, [1/c] 0.2 0.5            
Коэффициент вязкости, η [Па*с] 57.7 38.3 27.4 14. 10.1   3.7  
Ln () -1.609 -0.693   1.609 2.303 3.912 4.605 6.215
Ln (η) 4.055 3.645 3.311 2.639 2.313 1.609 1.308 0.693

 

Представим экспериментально полученные данные на графике

 

Опять получаем очень не наглядный график, и сделать какие либо предположения о характере зависимости практически невозможно.

 

Перестроим график в полулогарифмических координатах: η; Ln ()

 

График становится более наглядным, однако сказать что- либо определенное о характере зависимости невозможно.

Перестоим график в логарифмических координатах Ln (η); Ln ()

Точки хорошо укладываются на прямую линию. Полученная линейная зависимость позволят предположить о степенной зависимости вязкости η от скорости сдвига .

Определяя из графика η0 = 27,1 [Па*с] и m = tg α = - 0,43

Окончательно получим:

 

, Па*с

 

III. Метод наименьших квадратов.

Очень часто, несмотря на просматриваемый линейный характер исследуемой зависимости, экспериментальные точки не укладываются на прямую, имея значительный разброс.

В этом случае, для обработки результатов экспериментальных данных применяют метод наименьших квадратов.

1.Предполагается, что величины х и y связаны линейной зависимостью.

однако коэффициенты и неизвестны.

2.Предполагается, что ошибка при измерении величины , значительно (по крайней мере,

на порядок) меньше ошибки при измерении величины y. Поэтому погрешностью в

измерении можно прене­бречь.

З.Для определения и выполняем пар измерений

4.Если считать, что - точное значение, то ему должно соответствовать значение

yi, равное ; а в экспери­менте получено другое значение yi, которое, вообще

говоря, не совпа­дает с . (см. график)

 

 

расстояние первой точки от предполагаемой прямой

расстояние второй точки от предполагаемой прямой

расстояние i -ой точки от предполагаемой прямой

……………………………………………………………………………….

расстояние n-ой точки от предполагаемой прямой

 

5.Согласно теории метода, значения a и b следует опреде­лять следующим образом.

Т.к. эти расстояния будут встречаться как с положительным, так и с отрицательным

знаком необходимо взять сумму квадратов этих расстояний

Это выражение по смыслу представляет собой сумму квадратов отклонений измерен­ных yi от истинных. В методе наименьших квадратов утвержда­ется, что наилучшими оценками истинных значений коэффициентов и служат значения, обеспечивающее минимум величины (отсюда название метода). Должны выполняться условия:

 

и .

Найдем эти частные производные и приравняем их нулю.

1)

2)

Т.к. вторые производные больше 0, функция , при найденных

a и b, будет минимальна.

Из первого уравнения получаем

Из второго

или

Отсюда (15)

Подставляя найденное в первое уравнение, получим:

(16)

На практике сначала находят коэффициент затем коэффициент .

Пример 7

Заданы 10 пар измеренных значений xi и yi

 

13.68 3.08 0.97 0.37 12.95 18.28 8.63 4.85 13.08 0.46
32.04 -4.74 -4.93 -21.90 3.35 21.09 -5.06 4.41 6.77 -38.41

 

Наносим эти точки на график (см. рис.3). Точки имеют значительный разброс и «на глаз» провести усредняющую прямую невозможно.

 

Рис.3

Заполняем таблицу.

 

                   
13.68 3.08 0.97 0.37 12.95 18.28 8.63 4.85 13.08 0.46 76.35
32.04 -4.74 -4.93 -21.90 3.35 21.09 -5.06 4.41 6.77 -38.41 -7.38
187,14 9,49 0,94 0.14 167.76 334.26 74.55 23.54 171.09 0.21 968.87
438.26 -14.61 -4.78 -8.14 43.35 385.50 -43.71 21.39 88.60 -17.55 888.33

 

Последний столбец таблицы используют для нахождения коэффициентов и по формулам (16) и (15). В нашем случае a = 2,45 b = -19,43

 

По найденным коэффициентам на графике по двум произвольно взятым значениям и строят прямую линию, y = 2,45 x – 19,43, которая является наилучшим усреднением экспериментальных точек.

Если зависимость между исследуемыми величинами нелинейная, то путем замены переменных ее можно преобразовать к линейной, после чего можно воспользоваться изложенным методом.

В качестве примера рассмотрим обработку экспериментальных данных при проведении лабораторной работы «Методы измерения температур».

В работе снимается зависимость сопротивления термистора r от температуры T, которая определяется с помощью термопары. Эта зависимость не линейная и имеет вид:

,

где: А - некоторая постоянная; U -энергия активации; T -абсолютна температура; к - постоянная Больцмана. Применить метод наименьших квадратов для обработки результатов сразу нельзя. Преобразуем эту зависимость в линейную. Логарифмируя левую и правую часть, получим:

Как видно, теперь существует линейная зависимость между и .

Полученные экспериментальные данные занесем в первые две строки таблицы.

Заполним оставшиеся строки таблицы.

                 
r, кОм 3.000 3.556 4.250 5.143 6.333 8.000 10.500 14.667 23.000 --------
T,K 381.2 378.4 372.8 367.2 360.2 350.4 342.0 332.2 319.6 --------
1/T *10 3,1/K 2.623 2.643 2.682 2.723 2.776 2.854 2.924 3.010 3.129 25.365
Ln(r) 1.099 1.269 1.447 1.638 1.846 2.079 2.351 2.686 3.135 17.549
(1/T*10 3) 2,1/K 2 6.882 6.984 7.195 7.416 7.707 8.145 8.550 9.062 9.790 71.731
Ln(r)* 1/T *10 3 2.882 3.352 3.881 4.460 5.124 5.934 6.875 8.084 9.811 50.404

 

Данные, представленные в 4 и 5 строках таблицы нанесем на график. Точки имеют некоторый разброс, но так как зависимость теперь линейная, можно применить метод наименьших квадратов.

 

Заполняем 6 и 7 строки таблицы и рассчитываем коэффициенты a и b

По найденным коэффициентам проводим прямую, усредняющую экспериментальные точки.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-07; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1173 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Наука — это организованные знания, мудрость — это организованная жизнь. © Иммануил Кант
==> читать все изречения...

2269 - | 2069 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.007 с.