Таблиця похідних основних функцій
ПОХІДНА ФУНКЦІЇ,ЩО ЗАДАНА НЕЯВНО
Означення диференціала функції, його геометричний зміст
Нехай функція 
диференційована на відрізку [a, b]. За означенням похідної функції 
в точці х: 
Оскільки 
, то 
, де 
- нескінченно мала величина.
Маємо: 
.
Величину 
(при ) називають диференціалом функції 
і позначають 
або 
.
Диференціалом функції 
в точці х називається добуток похідної функції в цій точці на приріст аргументу: 
або 
Диференціал функції , що відповідає значенню х і 
, є приростом ординати дотичної до графіка функції в точці х. 
Тема:Похідні і диференціали вищих порядків
Похідні вищих порядків
Нехай на 
існує похідна 
, яка, в свою чергу, є диференційованою на .
Означення 1. Похідна від похідної першого порядку, тобто 
, називається похідною другого порядку або другою похідною функції 
і позначається 
, 
, 
, 
. Отже, 
або 
.
Якщо на існує , яка, в свою чергу, є диференційовною на , то похідна третього порядку функції на це 
.
Аналогічно, похідна четвертого порядку 
і так далі. Похідна 
-го порядку функції на
.
Означення 2. Функція, яка має похідну -го порядку 
на ( -у похідну) називається раз диференційовною на . Якщо ж -а похідна є ще й неперервною на , то функція 
називається раз неперервно диференційовною на .
У загальному випадку для обчислення похідної вищого порядку потрібно знайти спочатку похідні всіх нижчих порядків. В окремих випадках вдається встановити загальний вираз для похідної -го порядку.
Знайти похідну -го порядку для наступних функцій.
1. 
; 
; 
; 
; …;
або 
.
Зокрема, якщо 
, то 
.
2. 
; 
;
; 
;
і т.д.
Отже, 
.
3. 
; 
;
; 
;
і т.д.
Отже,.
4. 
; 
; 
;
; 
і т.д.
Отже, 
.
5. Розглянемо добуток двох нескінченно диференційовних функцій 
та 
.
; 
; 
;
і т.д.
Застосувавши метод математичної індукції можна показати, що
, 
де 
, а похідні нульового порядку – самі функції, тобто 
, 
.
Остання формула називається формулою Лейбніца для знаходження -ої похідної добутку двох нескінченно диференційовних функцій. Її зручно застосовувати, зокрема, якщо один із співмножників – многочлен.
Наприклад, знайти 
, якщо 
. З формули Лейбніца маємо
. У нас 
; 
. Знайдемо всі потрібні похідні:
; 
.
; 
; 
; 
.
А тепер розглянемо похідні вищих порядків для параметрично заданих функцій. Має місце теорема.
Теорема 1. Якщо функція 
задана параметрично 
, 
для всіх і 
- двічі диференційовні, то функція має похідну другого порядку, яку можемо знайти за формулою
.
Доведення. Відомо, що 
. Але
Зауваження 1. Всі похідні порядку 
параметрично заданої функції знаходять тільки за означенням. Більш того, навіть для знаходження похідних 2-го порядку часто простіше користуватись означенням, ніж отриманою формулою, що і показують наступні приклади.
Приклад 1.
.
; 
.
Приклад 2.
; 
; 
; 
.
Для знаходження другої похідної використовуємо формулу 
.
Зауваження 2. Зрозуміло, що 
а 
.
Приклад 3. Знайти 
.
;
;
Зауваження 3. Для неявно заданих функцій також можна знаходити похідні вищих порядків. При диференціюванні потрібно пам’ятати, що змінна 
є функцією 
(як складна), тобто 
, 
.
Наприклад, знайти , якщо задана рівнянням:
; 
; 
;
