Похідні вищих порядків

Таблиця похідних основних функцій

ПОХІДНА ФУНКЦІЇ,ЩО ЗАДАНА НЕЯВНО

Означення диференціала функції, його геометричний зміст

Нехай функція диференційована на відрізку [a, b]. За означенням похідної функції в точці х:

Оскільки , то , де - нескінченно мала величина.

Маємо: .

Величину (при ) називають диференціалом функції і позначають або .

Диференціалом функції в точці х називається добуток похідної функції в цій точці на приріст аргументу: або

Диференціал функції , що відповідає значенню х і , є приростом ординати дотичної до графіка функції в точці х.

Тема:Похідні і диференціали вищих порядків

Похідні вищих порядків

Нехай на існує похідна , яка, в свою чергу, є диференційованою на .

Означення 1. Похідна від похідної першого порядку, тобто , називається похідною другого порядку або другою похідною функції і позначається , , , . Отже, або .

Якщо на існує , яка, в свою чергу, є диференційовною на , то похідна третього порядку функції на це .

Аналогічно, похідна четвертого порядку і так далі. Похідна -го порядку функції на

.

Означення 2. Функція, яка має похідну -го порядку на ( -у похідну) називається раз диференційовною на . Якщо ж -а похідна є ще й неперервною на , то функція називається раз неперервно диференційовною на .

У загальному випадку для обчислення похідної вищого порядку потрібно знайти спочатку похідні всіх нижчих порядків. В окремих випадках вдається встановити загальний вираз для похідної -го порядку.

Знайти похідну -го порядку для наступних функцій.

1. ; ; ; ; …;

або .

Зокрема, якщо , то .

2. ; ;

; ;

і т.д.

Отже, .

3. ; ;

; ;

і т.д.

Отже,.

4. ; ; ;

 

; і т.д.

 

Отже, .

5. Розглянемо добуток двох нескінченно диференційовних функцій та .

; ; ;

і т.д.

Застосувавши метод математичної індукції можна показати, що

,

де , а похідні нульового порядку – самі функції, тобто , .

Остання формула називається формулою Лейбніца для знаходження -ої похідної добутку двох нескінченно диференційовних функцій. Її зручно застосовувати, зокрема, якщо один із співмножників – многочлен.

Наприклад, знайти , якщо . З формули Лейбніца маємо

. У нас ; . Знайдемо всі потрібні похідні:

; .

; ; ; .

А тепер розглянемо похідні вищих порядків для параметрично заданих функцій. Має місце теорема.

Теорема 1. Якщо функція задана параметрично , для всіх і - двічі диференційовні, то функція має похідну другого порядку, яку можемо знайти за формулою

.

Доведення. Відомо, що . Але

Зауваження 1. Всі похідні порядку параметрично заданої функції знаходять тільки за означенням. Більш того, навіть для знаходження похідних 2-го порядку часто простіше користуватись означенням, ніж отриманою формулою, що і показують наступні приклади.

Приклад 1.

.

; .

Приклад 2.

; ; ; .

Для знаходження другої похідної використовуємо формулу .

Зауваження 2. Зрозуміло, що

а .

Приклад 3. Знайти .

;

;

Зауваження 3. Для неявно заданих функцій також можна знаходити похідні вищих порядків. При диференціюванні потрібно пам’ятати, що змінна є функцією (як складна), тобто , .

Наприклад, знайти , якщо задана рівнянням:

; ; ;