Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕох≥дн≥ вищих пор€дк≥в




“аблиц€ пох≥дних основних функц≥й

ѕќ’≤ƒЌј ‘”Ќ ÷≤ѓ,ўќ «јƒјЌј Ќ≈я¬Ќќ

ќзначенн€ диференц≥ала функц≥њ, його геометричний зм≥ст

Ќехай функц≥€ диференц≥йована на в≥др≥зку [a, b]. «а означенн€м пох≥дноњ функц≥њ в точц≥ х:

ќск≥льки , то , де - неск≥нченно мала величина.

ћаЇмо: .

¬еличину (при ) називають диференц≥алом функц≥њ ≥ позначають або .

ƒиференц≥алом функц≥њ в точц≥ х називаЇтьс€ добуток пох≥дноњ функц≥њ в ц≥й точц≥ на прир≥ст аргументу: або

ƒиференц≥ал функц≥њ , що в≥дпов≥даЇ значенню х ≥ , Ї приростом ординати дотичноњ до граф≥ка функц≥њ в точц≥ х.

“ема:ѕох≥дн≥ ≥ диференц≥али вищих пор€дк≥в

ѕох≥дн≥ вищих пор€дк≥в

Ќехай на ≥снуЇ пох≥дна , €ка, в свою чергу, Ї диференц≥йованою на .

ќзначенн€ 1. ѕох≥дна в≥д пох≥дноњ першого пор€дку, тобто , називаЇтьс€ пох≥дною другого пор€дку або другою пох≥дною функц≥њ ≥ позначаЇтьс€ , , , . ќтже, або .

якщо на ≥снуЇ , €ка, в свою чергу, Ї диференц≥йовною на , то пох≥дна третього пор€дку функц≥њ на це .

јналог≥чно, пох≥дна четвертого пор€дку ≥ так дал≥. ѕох≥дна -го пор€дку функц≥њ на

.

ќзначенн€ 2. ‘ункц≥€, €ка маЇ пох≥дну -го пор€дку на ( -у пох≥дну) називаЇтьс€ раз диференц≥йовною на . якщо ж -а пох≥дна Ї ще й неперервною на , то функц≥€ називаЇтьс€ раз неперервно диференц≥йовною на .

” загальному випадку дл€ обчисленн€ пох≥дноњ вищого пор€дку потр≥бно знайти спочатку пох≥дн≥ вс≥х нижчих пор€дк≥в. ¬ окремих випадках вдаЇтьс€ встановити загальний вираз дл€ пох≥дноњ -го пор€дку.

«найти пох≥дну -го пор€дку дл€ наступних функц≥й.

1. ; ; ; ; Е;

або .

«окрема, €кщо , то .

2. ; ;

; ;

≥ т.д.

ќтже, .

3. ; ;

; ;

≥ т.д.

ќтже,.

4. ; ; ;

 

; ≥ т.д.

 

ќтже, .

5. –озгл€немо добуток двох неск≥нченно диференц≥йовних функц≥й та .

; ; ;

≥ т.д.

«астосувавши метод математичноњ ≥ндукц≥њ можна показати, що

,

де , а пох≥дн≥ нульового пор€дку Ц сам≥ функц≥њ, тобто , .

ќстанн€ формула називаЇтьс€ формулою Ћейбн≥ца дл€ знаходженн€ -оњ пох≥дноњ добутку двох неск≥нченно диференц≥йовних функц≥й. ѓњ зручно застосовувати, зокрема, €кщо один ≥з сп≥вмножник≥в Ц многочлен.

Ќаприклад, знайти , €кщо . « формули Ћейбн≥ца маЇмо

. ” нас ; . «найдемо вс≥ потр≥бн≥ пох≥дн≥:

; .

; ; ; .

ј тепер розгл€немо пох≥дн≥ вищих пор€дк≥в дл€ параметрично заданих функц≥й. ћаЇ м≥сце теорема.

“еорема 1. якщо функц≥€ задана параметрично , дл€ вс≥х - дв≥ч≥ диференц≥йовн≥, то функц≥€ маЇ пох≥дну другого пор€дку, €ку можемо знайти за формулою

.

ƒоведенн€. ¬≥домо, що . јле

«ауваженн€ 1. ¬с≥ пох≥дн≥ пор€дку параметрично заданоњ функц≥њ знаход€ть т≥льки за означенн€м. Ѕ≥льш того, нав≥ть дл€ знаходженн€ пох≥дних 2-го пор€дку часто прост≥ше користуватись означенн€м, н≥ж отриманою формулою, що ≥ показують наступн≥ приклади.

ѕриклад 1.

.

; .

ѕриклад 2.

; ; ; .

ƒл€ знаходженн€ другоњ пох≥дноњ використовуЇмо формулу .

«ауваженн€ 2. «розум≥ло, що

а .

ѕриклад 3. «найти .

;

;

«ауваженн€ 3. ƒл€ не€вно заданих функц≥й також можна знаходити пох≥дн≥ вищих пор€дк≥в. ѕри диференц≥юванн≥ потр≥бно памТ€тати, що зм≥нна Ї функц≥Їю (€к складна), тобто , .

Ќаприклад, знайти , €кщо задана р≥вн€нн€м:

; ; ;





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2680 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћучша€ месть Ц огромный успех. © ‘рэнк —инатра
==> читать все изречени€...

2036 - | 1918 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.034 с.